Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1079] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(b\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\) une fonction continue définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(f(r)=O(r^{-b-2})\).

1. Soit \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{u'\over r}+{u\over r^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\) et préciser la vitesse de convergence.

2. Soient \(j>0\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(j'\) tend vers 1 en \(+\infty\) et \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{j'\over j}u'+{u\over j^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\).

[planches/ex1597] ens PSI 2017 Si \(x\) est un nombre réel, on note \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) la partie fractionnaire de \(x\). Soient \(\theta\in\mathbf{R}\setminus\mathbf{Q}\) et \(f:\mathbf{N}\rightarrow\left[0,1\right[\), \(n\mapsto\{n\theta\}\).

1. Montrer que \(f\) est injective.

2. Montrer que : \(\forall\varepsilon>0\), \(\exists(m,n)\in\mathbf{N}^2\), \(m\neq n\) et \(0<f(m)-f(n)<\varepsilon\).

3. En déduire que \(\{x\in\mathbf{R},\ \exists(a,b)\in\mathbf{Z}^2,\ x=a+b\theta\}\) est dense dans \(\mathbf{R}\).

   On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+2y'+2y=f\) où \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) est non constante. On suppose que \((E)\) possède deux solutions périodiques \(y_1\) et \(y_2\) de périodes respectives \(T_1\) et \(T_2\). On se propose de montrer que \(y_1=y_2\).

4. Montrer que \(T_1/T_2\) est un nombre rationnel.

5. Montrer que la fonction \(y_2-y_1\) est bornée.

6. Montrer que \(y_2=y_1\).

[oraux/ex3051] centrale MP 2009 (avec Maple)

Soient \((E)\) : \((1-x)^3y''=y\) et \(y\) l’unique solution de \((E)\) définie sur \(I=\left]-\infty,1\right[\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=1\).

1. Justifier l’existence de \(y\) ; tracer le graphe de \(y\) à l’aide de la fonction odeplot du package plots.

2. On pose \(a_n=y^{(n)}(0)/n\,!\). Établir que \((a_n)\) vérifie une relation de récurrence liant \(a_n\), \(a_{n-1}\), \(a_{n-1}\) et \(a_{n-3}\).

3. calculer \(a_n\) pour \(n\in\{0,\ldots,10\}\).

4. Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(|a_n|\leqslant\alpha^n\). Qu’en déduire sur \(y\) ?

5. Montrer que \(y\) est positive sur \(\left[0,1\right[\).

6. En déduire que \(y(x)\geqslant x+\displaystyle\int_0^x{x-t\over(1-t)^2}\,dt\).

7. Calculer cette intégrale avec Maple. Qu’en déduire sur le comportement de \(y\) ?

[oraux/ex3148] polytechnique, espci PC 2011 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''(x)+\left(1-e^{-x^2}\right)y(x)=0\).

1. Montrer que les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}\).

2. Soit \(y\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer que \(y\) s’annule au moins une fois sur tout intervalle de la forme \([a,a+\pi]\) avec \(a\in\mathbf{R}\).

[planches/ex0929] polytechnique MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) intégrable. Étudier les solutions bornées de \(y''-(1+q)y=0\).

[oraux/ex3113] centrale PSI 2010 Soit \(u\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) telle que : \(u''(x)+e^xu'(x)=-1\), \(u(0)=u(1)=0\).

1. Montrer que \(u\) n’admet pas de minimum local sur \(\left]0,1\right[\).

2. Montrer que \(u'(0)>0\) et \(u'(1)<0\).

3. Montrer que \(u\) existe et est unique. Exprimer \(u\) à l’aide d’intégrales.

[planches/ex9340] ens PSI 2023 Soient \(a>0\) et \(q \in\mathscr{C}^2(\left[a,+\infty\right[,\mathbf{R}^{+*})\) telle que \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t = +\infty\).

Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\)

1. Soient \(y_1\) et \(y_2\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\) qui n’ont pas de zéros en commun. On pose \(\Phi = y_1 + iy_2\) et \(\Phi (a) = r_0e^{i\theta_0}\).

   Montrer que \(\forall x \geqslant a\), \(\Phi (x) = e^{\Psi(x)}\) où \(\Psi(x)=\displaystyle\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \,{\rm d}t + \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (r_0) + i\theta_0\).

2. Montrer que l’on peut écrire \(y_1(x) =r(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta(x))\) et \(y_2(x) =r(x) \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta(x))\) où \(r(x) = \sqrt{y_1^2(x) + y_2^2(x)}\) et \(\theta (x) = \theta_0 +\displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{y_1y'_2-y_2y'_1}{y_1^2+ y_2^2}\).

3. On pose \(x \mapsto f(x) =\displaystyle\int_a^{x} \sqrt {q(t)}\,{\rm d}t\).

   Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\left[a,+\infty\right[\) sur \(\mathbf{R}^+\).

4. Soit \(y\) une solution de \((E)\), non identiquement nulle. On pose \(Y = y\mathbin{\circ} f^{-1}\). Montrer que \(Y'' +vY' +Y =0\) où \(v~: t \mapsto\displaystyle\frac{q'(f^{-1}(t))}{2 (q(f^{-1}(t)))^{3/2}}\).

5. Montrer que \(Y\) et \(Y'\) n’ont pas de zéro en commun et que l’on peut écrire \(Y = r \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits (\theta)\) et \(Y'= r \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits (\theta)\) où \(r\), \(\theta\) sont des fonctions de classe \(\mathscr{C}^1\).

6. Montrer que \((r^2)' = -2v r^2 \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(\theta)\). En déduire que \(y\) et \(y'\) sont bornées.

[planches/ex1056] mines MP 2015 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) et \(x\) une solution strictement positive de \(x''+q(t)x=0\). On pose \(f=x'/x\).

1. Donner une équation différentielle satisfaite par \(f\).

2. Montrer que \(f\) est décroissante positive.

3. Que peut-on dire de l’intégrabilité de \(q\) ?

[concours/ex3343] centrale M 1993 On considère l’équation différentielle \((E)\) : \[y''+y'+p(x)y=0.\] Trouver \(p(x)\) pour que \((E)\) admette deux solutions \(y_1\), \(\mu y_2\) non identiquement nulles et telles que \(y_2=y_1^2\). Résoudre alors \((E)\).

[planches/ex0989] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soient \(a>0\) et \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f'=a\). On considère \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-\displaystyle{f'\over f}y'-{y\over f^2}=0\).

1. Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

2. Montrer que \(u(x)\rightarrow0\) quand \(x\rightarrow+\infty\).