Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0956] centrale MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{C})\) \(\pi\)-périodique. Pour \(\omega\in\mathbf{R}\), on considère l’équation différentielle \((E_\omega)\) : \(x''+(\omega^2-q)x=0\) et on note \(S(\omega)\) l’ensemble de ses solutions.

1. Établir l’existence de \(x_1\) et \(x_2\) dans \(S(\omega)\) telles que : \[(x_1(0),x'_1(0))=(1,0)\quad\hbox{et}\quad(x_2(0),x'_2(0))=(0,1).\] Montrer que \((x_1,x_2)\) est libre.

2. Calculer le wronskien de \((x_1,x_2)\).

3. Soit \(T\) qui à \(x\in S(\omega)\) associe \(T(x):t\mapsto x(t+\pi)\). Montrer que \(T\) est un automorphisme de \(S(\omega)\). Donner la matrice de \(T\) dans la base \((x_1,x_2)\).

4. On pose \(\Delta=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(T)/2\). Montrer que \(\chi_T=X^2-2\Delta X+1\).

5. Si \(|\Delta|>1\), montrer que \((E_\omega)\) possède des solutions non bornées. Si \(|\Delta|<1\), montrer que les solutions de \((E_\omega)\) sont bornées.

6. Montrer que : \[\begin{aligned} x_1(t)&=&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega t)+\int_0^tx_1(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du,\cr x_2(t)&=&{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega t)\over t}+\int_0^tx_2(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du. \end{aligned}\] On fait désormais varier \(\omega\).

7. Montrer que, lorsque \(\omega\rightarrow+\infty\), \(\Delta_\omega=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega\pi)+O(1/\omega)\).

   On appelle intervalle de divergence tout intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\) tel que : \(\forall\omega\in I\), \(|\Delta_\omega|>1\).

8. Soit \(\varepsilon>0\). Établir l’existence de \(X\in\mathbf{R}_+\) tel que, pour tout intervalle de divergence \(I\subset\left[X,+\infty\right[\), il existe un entier \(n\) tel que \(I\subset[n-\varepsilon,n+\varepsilon]\).

[oraux/ex2894] centrale MP 2005 Soit \(q\) une fonction continue et positive définie sur \(\mathbf{R}\). On note \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-qy=0\).

1. Montrer qu’une solution non nulle de \((E)\) ne s’annule qu’au plus une fois.

   Désormais \(q(t)=e^t\). Montrer que les solutions de \((E)\) sont développables en série entière.

2. Donner l’allure des solutions \(f\) et \(g\) de \(y''-e^ty=0\) vérifiant les conditions initiales \(f(0)=1\), \(f'(0)=0\), \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\).

[planches/ex1596] ens PSI 2017 Soit \(f\in\mathscr{C}([0,1],\mathbf{R})\) et \(c\in\mathscr{C}([0,1],\mathbf{R}_+)\). On considère le problème aux limites : \[(1)\qquad-u''(x)+c(x)u(x)=f(x),\quad u(0)=u(1).\]

1. Pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère le système : \[(2)\qquad-u_\lambda(x)+c(x)u_\lambda(x)=f(x),\quad u_\lambda(0)=0,\quad u_\lambda(0)=\lambda.\] Montrer que \((2)\) possède une unique solution \(u_\lambda\) dans \(\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\).

2. En déduire qu’il existe une unique solution de \((1)\) dans \(\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\).

   Indication : On pourra montrer que \(\varphi:\lambda\mapsto u_\lambda(1)\) est affine.

3. Montrer que si \(f\geqslant 0\), alors \(u\geqslant 0\).

[planches/ex0923] ens PC 2013 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). Résoudre \[(E)\ :\quad(\varphi(x)-\alpha)u''(x)-\varphi''(x)u(x)=0\] lorsque \(\varphi=\alpha\) possède zéro ou une solution.

Indication : Déterminer une solution simple de \((E)\).

[planches/ex1110] centrale MP 2016 Soit \((E)\) l’équation différentielle : \((1-x)^3y''(x)=y(x)\).

1. Déterminer la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\). Montrer que toutes ces solutions sont de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]-\infty,1\right[\).

2. Soient \(y\) une solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) et, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \(a_n=\displaystyle{y^{(n)}(0)\over n\,!}\). Trouver une relation de récurrence satisfaite par \((a_n)_{n\geqslant 0}\).

3. Montrer que les solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) sont développables en série entière au voisinage de 0.

4. Soit \(y\) la solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) telle que \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\). Que dire de \(y(x)\) lorsque \(x\) tend vers 1 ?

[planches/ex1005] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), \(g\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+f(x)=-xg(x)f'(x)\). Montrer que \(f\) est bornée.

[oraux/ex4963] ens PC 2012 Soient \((E)\) : \(y''+(1+e^{-t}) y=0\) et \((F)\) : \(y''+y=0\). Soient \(f\) une solution non nulle de \((E)\) et \(g\) une solution non nulle de \((F)\).

1. Montrer qu’entre deux zéros de \(g\) il y a au moins un zéro de \(f\).

2. Montrer que \(f\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}^+\). On note \((x_n)_{n\geqslant 0}\) la suite ordonnée des zéros de \(f\) sur \(\mathbf{R}^+\).

3. Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow \pi\).

4. Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow +\infty\).

[planches/ex0989] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Soient \(a>0\) et \(f\in\mathscr{C}^1(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R}_+^*)\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f'=a\). On considère \(u\in\mathscr{C}^2(\left[1,+\infty\right[,\mathbf{R})\) bornée et solution de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-\displaystyle{f'\over f}y'-{y\over f^2}=0\).

1. Montrer que \(u'(x)=O(1/x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

2. Montrer que \(u(x)\rightarrow0\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[oraux/ex3174] centrale MP 2011 (avec Maple)

Soit \(f\) une fonction continue de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose qu’il existe \(L>0\) tel que : \(\forall(x,y,t)\in\mathbf{R}^3\), \(|f(t,x)-f(t,y)|\leqslant L|x-y|\). On fixe \(a\), \(b\) dans \(\mathbf{R}\). Si \(x\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), on note \(T(x)\) la fonction définie par : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad T(x)(t)=a+bt+\int_0^t(t-s)f(s,x(s))\,ds.\]

1. Vérifier que \(T(x)\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. On suppose \(f(t,x)=(2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t-2)x\). On prend pour \(y\) la fonction nulle. Tracer, pour \(8\leqslant n\leqslant 12\), le graphe de \(T^n(y)\) sur \([-6,6]\).

3. Montrer que pour toute \(x\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) la suite \((T^n(x))\) converge uniformément sur tout segment de \(\mathbf{R}\) vers une fonction \(y\) telle que \(y(0)=a\), \(y'(0)=b\), \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y''(t)=f(t,y(t))\).

[concours/ex1374] ens cachan MP 1998 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathbf{R}^2\) euclidien, et \[E=\{u\in\mathscr{C}^1([0,1],\mathbf{R}^2)\mid u(0)=A,\ u(1)=B\}.\] Soit \(n\) une application de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}_+^*\), de classe \(C^2\). Pour \(u\in E\), on pose \(F(u)=\displaystyle\int_0^1n(u(t))\|u'(t)\|^2\,dt\). On suppose qu’il existe \(u_0\in E\) tel que \(F(u_0)=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits_{u\in E}F(u)\). Montrer que \(u_0\) est de classe \(C^2\) et trouver une équation différentielle vérifiée par \(u_0\).