Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2986] centrale MP 2008 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue, \(2\pi\)-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(y_n:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) la solution du problème de Cauchy : \(y''+(1-q(nt))y=0\), \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Soit \(X_n:t\mapsto(y_n(t),y_n'(t))\). On munit \(\mathbf{R}^2\) de son produit scalaire canonique.

1. Montrer que, \(\forall t\in\mathbf{R}\) : \(\langle X_n(t),X_n'(t)\rangle\leqslant\displaystyle{1\over2}|q_n(t)|\times\|X_n(t)\|^2\).

2. Soit \(T>0\). Montrer que \(y_n\) et \(y_n'\) sont bornées sur \([0,T]\) par une constante indépendante de \(n\).

3. Montrer que \((y_n)\) converge uniformément sur \([0,T]\).

[oraux/ex3147] polytechnique, espci PC 2011 Soit \(y\) une solution de \(y''(x)=xy(x)\) sur \([0,1]\) telle que \(y(0)=1\) et \(y'(0)=0\). Montrer : \(\forall x\in[0,1]\), \(|y'(x)|+|y(x)|\leqslant e^x\).

[planches/ex0956] centrale MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{C})\) \(\pi\)-périodique. Pour \(\omega\in\mathbf{R}\), on considère l’équation différentielle \((E_\omega)\) : \(x''+(\omega^2-q)x=0\) et on note \(S(\omega)\) l’ensemble de ses solutions.

1. Établir l’existence de \(x_1\) et \(x_2\) dans \(S(\omega)\) telles que : \[(x_1(0),x'_1(0))=(1,0)\quad\hbox{et}\quad(x_2(0),x'_2(0))=(0,1).\] Montrer que \((x_1,x_2)\) est libre.

2. Calculer le wronskien de \((x_1,x_2)\).

3. Soit \(T\) qui à \(x\in S(\omega)\) associe \(T(x):t\mapsto x(t+\pi)\). Montrer que \(T\) est un automorphisme de \(S(\omega)\). Donner la matrice de \(T\) dans la base \((x_1,x_2)\).

4. On pose \(\Delta=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(T)/2\). Montrer que \(\chi_T=X^2-2\Delta X+1\).

5. Si \(|\Delta|>1\), montrer que \((E_\omega)\) possède des solutions non bornées. Si \(|\Delta|<1\), montrer que les solutions de \((E_\omega)\) sont bornées.

6. Montrer que : \[\begin{aligned} x_1(t)&=&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega t)+\int_0^tx_1(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du,\cr x_2(t)&=&{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega t)\over t}+\int_0^tx_2(u)q(u)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\omega(t-u))\,du. \end{aligned}\] On fait désormais varier \(\omega\).

7. Montrer que, lorsque \(\omega\rightarrow+\infty\), \(\Delta_\omega=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\omega\pi)+O(1/\omega)\).

   On appelle intervalle de divergence tout intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\) tel que : \(\forall\omega\in I\), \(|\Delta_\omega|>1\).

8. Soit \(\varepsilon>0\). Établir l’existence de \(X\in\mathbf{R}_+\) tel que, pour tout intervalle de divergence \(I\subset\left[X,+\infty\right[\), il existe un entier \(n\) tel que \(I\subset[n-\varepsilon,n+\varepsilon]\).

[planches/ex1110] centrale MP 2016 Soit \((E)\) l’équation différentielle : \((1-x)^3y''(x)=y(x)\).

1. Déterminer la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\). Montrer que toutes ces solutions sont de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]-\infty,1\right[\).

2. Soient \(y\) une solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) et, pour \(n\) dans \(\mathbf{N}\), \(a_n=\displaystyle{y^{(n)}(0)\over n\,!}\). Trouver une relation de récurrence satisfaite par \((a_n)_{n\geqslant 0}\).

3. Montrer que les solutions de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) sont développables en série entière au voisinage de 0.

4. Soit \(y\) la solution de \((E)\) sur \(\left]-\infty,1\right[\) telle que \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\). Que dire de \(y(x)\) lorsque \(x\) tend vers 1 ?

[concours/ex3550] polytechnique M 1992 Soit \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}ta(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}b(t)\,dt\) convergent absolument. On considère l’équation \((E)\) : \(x''+a(t)x=b(t)\). Soit \(x\) une solution de \((E)\). Montrer que \(x\) a une limite en \(+\infty\).

[concours/ex3119] polytechnique P 1993

Soit \(g\), \(k:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) avec \(g\) continue et \(k\) de classe \(C^1\) ne s’annulant pas sur \([a,b]\) et \[(E)\quad(ky')'+gy=0.\]

1. Montrer que l’ensemble des zéros d’une solution non nulle de \((E)\) est fini.

2. Soit \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que si \(x_1\) et \(x_2>x_1\) sont deux zéros de \(y_1\), alors \(y_2\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).

3. Soit \(g_1\), \(g_2:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) continues telles que \(g_1<g_2\), \[(E_j)\quad(ky')'+g_jy=0\quad(j=1,2)\] et \(u\) une solution non nulle de \(E_1\) s’annulant en \(x_1\) et \(x_2>x_1\). Montrer que toute solution de \((E_2)\) s’annule sur \(\left]x_1,x_2\right[\).

[concours/ex6304] ens cachan MP 2006

1. Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.

2. Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.

[oraux/ex4962] ens PC 2012 Soit \(a\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((A,B)\in\mathbf{R}\) tels que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(0<A\leqslant a(x)\leqslant B\).

1. Soit \(\varphi\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non nulle et telle que \(\varphi ''=a\varphi\). Que dire de l’ensemble des zéros de \(\varphi\) ?

2. Soit \(\varphi\in{\cal C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) non nulle et telle que \(\varphi ''=-a\varphi\). Que dire de l’ensemble des zéros de \(\varphi\) ?

[oraux/ex3108] centrale MP 2010 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{C})\) telle que \(t\mapsto tq(t)\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

1. Justifier l’existence de \(a\in\mathbf{R}_+\) tel que \(\displaystyle\int_a^{+\infty}|tq(t)|\,dt\leqslant 1/2\).

2. Montrer qu’il existe une suite \((y_n)_{n\geqslant 0}\) de fonctions continues et bornées de \(\left[a,+\infty\right[\) vers \(\mathbf{C}\) telles que : \(y_0=1\) et \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\forall x\in\left[a,+\infty\right[\), \(y_n(x)=1+\displaystyle\int_x^{+\infty}(t-x)q(t)y_{n-1}(t)\,dt\).

3. Montrer que \((y_n)\) converge uniformément vers une solution de \((E_a)\) : \(y''(t)+q(t)y(t)=0\), \(t\geqslant a\).

4. Montrer que l’équation \((E_0)\) : \(y''(t)+q(t)y(t)=0\), \(t\geqslant 0\), possède une solution \(Y\) telle que \(Y(t)\rightarrow1\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

5. En déduire le comportement à l’infini des solutions de \((E_0)\) selon qu’elles sont, ou ne sont pas, bornées.

[planches/ex1079] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(b\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\) une fonction continue définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(f(r)=O(r^{-b-2})\).

1. Soit \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{u'\over r}+{u\over r^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\) et préciser la vitesse de convergence.

2. Soient \(j>0\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) telle que \(j'\) tend vers 1 en \(+\infty\) et \(u\) de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left[1,+\infty\right[\) bornée telle que \(-u''-\displaystyle{j'\over j}u'+{u\over j^2}=f\). Montrer que \(u\) tend vers 0 en \(+\infty\).