Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3550] polytechnique M 1992 Soit \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}ta(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}b(t)\,dt\) convergent absolument. On considère l’équation \((E)\) : \(x''+a(t)x=b(t)\). Soit \(x\) une solution de \((E)\). Montrer que \(x\) a une limite en \(+\infty\).

[planches/ex1080] ens cachan, ens rennes MP 2016 Soient \(f\) dans \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_-^*)\) et \((E)\) l’équation différentielle \(x''+f(t)x=0\) sur \([0,1]\).

1. Décrire la structure de l’ensemble des solutions de \((E)\), rappeler le théorème de Cauchy linéaire, mettre le système différentiel associé à \((E)\) sous forme matricielle.

2. Montrer que si \(x\) est solution de \((E)\) et vérifie \(x(0)=x(1)=0\) alors \(x=0\).

3. Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que pour toute solution de \((E)\), on ait : \[\varepsilon^2\int_0^1x(t)^2\,dt\leqslant\varepsilon\int_0^1x'(t)^2\,dt\leqslant\int_0^1(1-t)x(t)^2\,dt.\]

[oraux/ex3187] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soit, pour \(a\in\mathbf{R}\), \((E_a)\) : \((x-1)y''(x)-y'(x)+4a(x-1)^3y(x)=0\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour qu’il existe une solution non nulle de \((E_a)\) s’annulant en 0 et en 1. On note \((a_k)_{k\geqslant 0}\) la suite strictement croissante des réels ainsi trouvés.

   Soit, pour \(k\in\mathbf{N}\), \(\varphi_k:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\sqrt{a_k}x(x-2))\).

2. Si \((f,g)\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})^2\), on pose \(\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_0^12(1-x)f(x)g(x)\,dx\). Montrer que cette application définit un produit scalaire sur \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\). Calculer \(\langle\varphi_k,\varphi_j\rangle\) pour \((j,k)\in\mathbf{N}^2\).

3. Soit \((b_n)_{n\geqslant 0}\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\). On suppose que la série de terme général \(b_n\) est absolument convergente. Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}b_k\varphi_k(x)\). Montrer que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}\). Exprimer les \(b_k\) à l’aide d’une intégrale faisant intervenir \(F\) et les \((\varphi_n)_{n\geqslant 0}\).

[planches/ex1056] mines MP 2015 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) et \(x\) une solution strictement positive de \(x''+q(t)x=0\). On pose \(f=x'/x\).

1. Donner une équation différentielle satisfaite par \(f\).

2. Montrer que \(f\) est décroissante positive.

3. Que peut-on dire de l’intégrabilité de \(q\) ?

[oraux/ex3108] centrale MP 2010 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{C})\) telle que \(t\mapsto tq(t)\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

1. Justifier l’existence de \(a\in\mathbf{R}_+\) tel que \(\displaystyle\int_a^{+\infty}|tq(t)|\,dt\leqslant 1/2\).

2. Montrer qu’il existe une suite \((y_n)_{n\geqslant 0}\) de fonctions continues et bornées de \(\left[a,+\infty\right[\) vers \(\mathbf{C}\) telles que : \(y_0=1\) et \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\forall x\in\left[a,+\infty\right[\), \(y_n(x)=1+\displaystyle\int_x^{+\infty}(t-x)q(t)y_{n-1}(t)\,dt\).

3. Montrer que \((y_n)\) converge uniformément vers une solution de \((E_a)\) : \(y''(t)+q(t)y(t)=0\), \(t\geqslant a\).

4. Montrer que l’équation \((E_0)\) : \(y''(t)+q(t)y(t)=0\), \(t\geqslant 0\), possède une solution \(Y\) telle que \(Y(t)\rightarrow1\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

5. En déduire le comportement à l’infini des solutions de \((E_0)\) selon qu’elles sont, ou ne sont pas, bornées.

[concours/ex4044] polytechnique pox P 1990 Soit \(f(x)=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x}\).

1. Trouver une équation différentielle linéaire, d’ordre \(2\), à coefficients polynomiaux, satisfaite par \(f\).

2. Résoudre cette équation.

[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).

[concours/ex6304] ens cachan MP 2006

1. Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.

2. Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.

[oraux/ex4930] ens lyon MP 2012 On note \(E\) l’ensemble des \(f\in{\cal C}^1([-1,1],\mathbf{R})\) vérifiant \(f(-1)=-1\) et \(f(1)=1\). On considère \(J : f \in E \mapsto \displaystyle\int_{-1}^1 \left(x\, f'(x)\right)^2\,dx\). La fonction \(J\) possède-t-elle un minimum ?

[oraux/ex4961] ens PC 2012 Soient \(a,b,c,d\) dans \({\cal C}^2(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\). On suppose : \(a>0\), \(c<0\) et \(d>0\). Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(ay''+by'+cy=d\), \(y(0)=0\).

1. Si \(y'(0)=0\), montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}^{+*}\), \(y(t)>0\).

2. On suppose qu’il existe \(t_1>0\) tel que \(y(t_1)>0\). Montrer : \(\forall t\geqslant t_1\), \(y(t)\geqslant 0\).