Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3082] polytechnique MP 2010 Soit \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non identiquement nulle de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+e^ty=0\). Montrer que \(f\) admet une infinité dénombrable de zéros.

[equadiff/ex0881] Soit \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\) une équation différentielle linéaire du deuxième ordre homogène à coefficients non forcément constants, de classe \(C^1\) sur l’intervalle \(I\).

1. Écrire l’équation \((E')\) transformé de \((E)\) en posant \(y=uz\).

2. Déterminer une équation différentielle simple que doit vérifier la fonction \(u\) de sorte de \((E')\) ne contienne plus de terme en \(z'\), et résoudre cette équation en \(u\).

3. Montrer que \((E')\) peut se mettre sous la forme : \(z''=cz\), et exprimer la fonction \(c\) en fonction de \(a\) et \(b\).

4. Déterminer \(u\) et \(c\) quand \(a\) et \(b\) sont constants.

[oraux/ex3133] ens lyon MP 2011 Soit \(\varphi\) une solution maximale non identiquement nulle de \(y''+e^xy=0\).

1. Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que l’on peut ranger l’ensemble des zéros de \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}_+\) en une suite strictement croissante \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\).

3. Montrer que \(x_{n+1}-x_n\rightarrow0\) quand \(n\rightarrow+\infty\).

4. Donner un équivalent de \(x_n\) quand \(n\rightarrow+\infty\).

[planches/ex3377] polytechnique, espci PC 2018 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(q>0\), \(q'>0\). Montrer que les solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[planches/ex8462] mines PC 2022

1. Soit \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\). On suppose qu’il existe \(c\geqslant 0\) tel que, pour tout \(x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\). Montrer que \(f\) est bornée.

2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) solution de \(y''+xy=0\). Montrer que \(y\) est bornée.

[planches/ex0929] polytechnique MP 2013 Soit \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) intégrable. Étudier les solutions bornées de \(y''-(1+q)y=0\).

[oraux/ex3170] centrale MP 2011 (avec Maple)

Soit \((E_\lambda)\) l’équation \(-y''+x^2y=\lambda y\).

1. Tracer les solutions pour \(\lambda\in\{1,2\}\) pour chacune des conditions initiales suivantes : \(\{y(0)=0,\ y'(0)=1\}\) et \(\{y(0)=1,\ y'(0)=0\}\).

2. On étude \((E_1)\). Chercher les valeurs de \(\sigma\) telles que \(t\mapsto e^{at^2}\) soit solution. En déduire toutes les solutions de \((E_1)\) à l’aide de \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^xe^{t^2}\,dt\). Chercher avec Maple un équivalent de \(\varphi\) en \(+\infty\). Quelles sont les solutions bornées de \((E_1)\) ?

3. Soit \(y\) une solution de \((E_\lambda)\). Déterminer une équation vérifiée par \(u:x\mapsto y(x)e^{x^2/2}\). Montrer que ces fonctions \(u\) sont développables en série entière, et qu’il en est de même de toutes les solutions de \((E_\lambda)\).

[planches/ex0923] ens PC 2013 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). Résoudre \[(E)\ :\quad(\varphi(x)-\alpha)u''(x)-\varphi''(x)u(x)=0\] lorsque \(\varphi=\alpha\) possède zéro ou une solution.

Indication : Déterminer une solution simple de \((E)\).

[planches/ex0965] centrale PSI 2013 Soit \(F\) l’espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur \(\left]0,+\infty\right[\). Pour \(f\in F\), on considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x^2y''+2y'-2y=f(x)\).

1. Trouver les fonctions \(x\mapsto x^r\) solutions de l’équation homogène associée à \((E)\).

2. Soit \(g(x)=\displaystyle\int_0^x{-tf(t)\over3x^2}\,dt+\int_x^{+\infty}{-xf(t)\over3t^2}\,dt\). Montrer que \(g\) est bien définie sur \(\left]0,+\infty\right[\) puis vérifier que \(g\) est solution de \((E)\).

3. Quel est le lien entre les deux questions précédentes ?

4. Montrer que l’application qui envoie \(f\) sur \(g\) définit un endomorphisme de \(F\).

[planches/ex0917] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2013 Soient \(\eta\) et \(\varphi\) deux fonctions de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), avec \(\eta\) à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''-\eta y=\varphi\).

1. Montrer que \((E)\) admet au plus une solution 1-périodique.

2. On suppose \(\eta\) constante. Montrer que \((E)\) possède une solution 1-périodique.

3. Établir l’existence de \(\alpha>0\) tel que, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\) vérifiant \(0<|\lambda|<\alpha\), l’équation \(u''-\lambda\eta u=\varphi\) admette une solution 1-périodique.

   Indication : On écrit \(\varphi=\lambda\varphi_1+\varphi_0\) avec \(\varphi_1\) constante et \(\displaystyle\int_0^1\varphi_0=0\). On cherche alors la solution \(u\) sous la forme \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\lambda^n(u_n+c_n)\) où \(c_n\) est constante de \(u_n\) est une fonction 1-périodique vérifiant \(u_n(0)=0\).