Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1793] mines MP 2024 Soit \(f\) une fonction continue et bornée de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Déterminer les fonctions \(y\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), de classe \(\mathscr{C}^2\) et bornées, telles que \(y''-y=f\).

[oraux/ex5392] mines MP 2012 Soit \(f\,:\;\mathbf{R}^{+*}\to\mathbf{R}\) continue. On considère l’équation différentielle \((E)\) \(y''=f\,y\).

1. Montrer que les zéros des solutions non nulles sont isolés.

2. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \((E)\). Montrer : \[\int_\alpha^\beta\left|f(t)\right|\,dt>\frac4{\beta-\alpha}.\]

[planches/ex1074] tpe PSI 2015 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\Phi:E\rightarrow E\) qui à \(f\) associe \(g\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(g(x)=f'(x)-xf(x)\). Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\), puis \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\mathbin{\circ}\Phi\).

[planches/ex8462] mines PC 2022

1. Soit \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\). On suppose qu’il existe \(c\geqslant 0\) tel que, pour tout \(x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\). Montrer que \(f\) est bornée.

2. Soit \(y\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) solution de \(y''+xy=0\). Montrer que \(y\) est bornée.

[planches/ex3377] polytechnique, espci PC 2018 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(q>0\), \(q'>0\). Montrer que les solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[oraux/ex3142] polytechnique MP 2011 Soit \(a\) dans \(\left]0,\pi\right[\).

1. Déterminer \(y\) de classe \(C^2\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \(y(0)=a\), \(y'(0)=0\), \(y''=-y\).

2. Soit \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et bornée par \(a\) sur \(\mathbf{R}\).

3. Trouver \(C>0\) telle que : \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)-y(t)|\leqslant Ct^2\).

[planches/ex1009] mines MP 2014 Soit \((E)\) l’équation différentielle \[y''+e^xy=0.\]

1. Montrer que les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Les solutions de \((E)\) sont-elles toutes bornées sur \(\mathbf{R}\) ?

[equadiff/ex0881] Soit \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\) une équation différentielle linéaire du deuxième ordre homogène à coefficients non forcément constants, de classe \(C^1\) sur l’intervalle \(I\).

1. Écrire l’équation \((E')\) transformé de \((E)\) en posant \(y=uz\).

2. Déterminer une équation différentielle simple que doit vérifier la fonction \(u\) de sorte de \((E')\) ne contienne plus de terme en \(z'\), et résoudre cette équation en \(u\).

3. Montrer que \((E')\) peut se mettre sous la forme : \(z''=cz\), et exprimer la fonction \(c\) en fonction de \(a\) et \(b\).

4. Déterminer \(u\) et \(c\) quand \(a\) et \(b\) sont constants.

[planches/ex0932] polytechnique MP 2013 Soient \(a\in\left]0,\pi\right[\) et \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy : \(x''=-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\), \(x(0)=a\), \(x'(0)=0\). Montrer que \(x\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(|x(t)|\leqslant a\).

[planches/ex8133] mines MP 2022 Soit \(f:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On se donne \(c\geqslant 0\), on pose \(F:x\longmapsto c+\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\) et on suppose que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(xf(x)\leqslant F(x)\).

1. Étudier les variations de \(x\longmapsto\displaystyle{F(x)\over x}\) sur \(\mathbf{R}_+^*\) et en déduire que \(f\) est bornée.

2. Soit \(g\) une solution sur \(\mathbf{R}_+\) de l’équation différentielle \(y''+xy=0\). En s’intéressant à \(g^2\), montrer que \(g\) est bornée.