Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1114] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \[(1)\quad y''=(1+x^4)y.\]

1. Montrer que \((1)\) possède une unique solution \(y\) telle que \(y(0)=y'(0)=1\).

2. Soit \(f\) une solution de \((1)\). On suppose \(\displaystyle{1\over f^2}\) intégrable. Montrer que \(x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{1\over f^2(t)}\,dt\) est également solution de \((1)\) (?).

3. Montrer que si \(f\) solution de \((E)\) vérifie \(f(0)=f'(0)=1\) alors \(\displaystyle{1\over f^2}\) est intégrable.

[oraux/ex5086] polytechnique MP 2012

1. Soient \(y \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R})\), \(a\in\mathbf{R}^+\), \(g \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R}^+)\) et \(G : t \mapsto \displaystyle\int_0^t g(s)\,ds\). On suppose que \(\forall t \in \mathbf{R}^+\), \(y(t) \leqslant a+\displaystyle\int_0^t y(s)\,g(s)\,ds\). Montrer que \(\forall t \in \mathbf{R}^+, \; y(t) \leqslant a \,e^{G(t)}.\)

2. Soit \(f \in{\cal C}^1(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\) de limite \(1\) en \(+\infty\) et dont la dérivée est intégrable sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(h\) une solution maximale de l’équation différentielle \(x''(t)+f(t)\,x(t)=0\). Montrer que \(h\) et \(h'\) sont bornées.

[oraux/ex3042] mines PC 2009 Soient \(\varphi\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\), \(k\in\mathbf{R}_+^*\) et \((E)\) : \(y''+\varphi(x)y'-ky=0\). On suppose que \(f\) est une solution de \((E)\) telle que \(f(a)=f(b)=0\). Montrer que \(f\) est identiquement nulle.

[oraux/ex5392] mines MP 2012 Soit \(f\,:\;\mathbf{R}^{+*}\to\mathbf{R}\) continue. On considère l’équation différentielle \((E)\) \(y''=f\,y\).

1. Montrer que les zéros des solutions non nulles sont isolés.

2. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \((E)\). Montrer : \[\int_\alpha^\beta\left|f(t)\right|\,dt>\frac4{\beta-\alpha}.\]

[planches/ex1018] mines PSI 2014 Soient \(a\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+a(x)y=0\).

1. Montrer que les wronskiens relatifs à \((E)\) vérifient une équation différentielle du premier ordre.

2. Soit \(T>0\). Montrer que les trois énoncés suivants sont équivalents :

   1. \((E)\) possède un wronskien \(T\)-périodique ;

   2. tous les wronskiens de \((E)\) sont périodiques ;

   3. la fonction \(a\) est \(T\)-périodique de valeur moyenne nulle.

[concours/ex5477] polytechnique MP 2007 Soient \(f\in\mathscr{C}^1(\left]0,+\infty\right[,\mathbf{R})\) et \(g\) une solution de \((E)\) : \(y''+fy=0\), non identiquement nulle.

1. Montrer que les zéros de \(g\) sont isolés. Dans la suite, \(x_1\) et \(x_2\) sont deux zéros consécutifs de \(g\) vérifiant \(x_1<x_2\).

2. Montrer, si \(x\in[x_1,x_2]\) : \[\hskip-1cm(x_2-x)\int_{x_1}^x(t-x_1)f(t)g(t)\,dt+ (x-x_1)\int_x^{x_2}(x_2-t)f(t)g(t)\,dt =(x_2-x_1)g(x).\]

3. En déduire une minoration de \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}|f(t)|\,dt\).

[oraux/ex3075] ens lyon MP 2010 Soient \(q\) une application continue périodique et non identiquement nulle de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(y\) une solution de \(y''+qy=0\). Montrer que \(y\) s’annule une infinité de fois.

[oraux/ex2942] centrale PC 2006 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et, pour \(f\in E\), \(\mu(f)\) l’élément de \(E\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\mu(f)(x)=f'(x)-xf(x).\]

1. Montrer que \(\mu\) est un endomorphisme de \(E\), déterminer son noyau.

2. L’application \(\mu\) est-elle surjective ?

3. Si \(g\in E\), déterminer \(\mu^{-1}(g)\).

4. Déterminer \(\mu\mathbin{\circ}\mu\).

5. Résoudre : \(y''-2xy'+(x^2-1)y=0\).

6. Si \(n\in\mathbf{N}^*\), résoudre \(\mu^{(n)}(f)=0\).

[oraux/ex3012] polytechnique MP 2009 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\) et \(f\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \(u\) dans \(\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) non identiquement nulle telle que : \(u''+fu=0\) et \(u(a)=u(b)=0\). Montrer : \(\displaystyle\int_a^b|f(t)|\,dt\geqslant(b-a)/4\).

[examen/ex0458] centrale MP 2023 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty([0,\pi],\mathbf{R})\) et \(F=\{f\in E,\ f(0)=f(\pi)=0\}\). Soient \(\varphi,q\in E\), la fonction \(q\) étant positive. On note \(\alpha\) une primitive de \(\varphi\). On pose \(D(y)=y''+\varphi y'-qy\) et \(L(y)=-e^\alpha D(y)\) pour tout \(y\in E\), et \(\langle y,z\rangle=\displaystyle\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,\mathrm{d}x\) pour tous \(y\), \(z\in F\).

1. Rappeler le théorème de Cauchy-Lipschitz.

2. Montrer que \(\langle\ ,\ \rangle\) est un produit scalaire sur \(F\).

3. Soit \(h\in E\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(f_0\in F\) telle que \(D(f_0)=h\).