Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6508] polytechnique MP 2021 Soit \(q\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose que \(q'\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\) et que \(q(t)\rightarrow0\) quand \(t\rightarrow+\infty\). Montrer que les solutions de \(y''+(q+1)y=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[oraux/ex3153] mines MP 2011 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''=(x^4+1)y\).

1. Montrer que cette équation possède une unique solution \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. Montrer que \(g=f^2\) est convexe.

3. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/g\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

5. Montrer que \(x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over g(t)}\) est également solution de \((E)\).

[oraux/ex2901] centrale PSI 2005 Soit \(E\) l’ensemble des \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)-(1+x^4)f(x)=0\).

1. Montrer que \(E\) contient une unique fonction \(f_0\) telle que \(f_0(0)=1\) et \(f_0'(0)=1\).

2. Montrer que \(f_0^2\) est convexe.

3. Montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}_+\), \(f_0(t)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/f_0^2\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

   Soit \(f_1:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f_0(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f_0^2(t)}\).

5. Montrer que \(f_1\in E\).

6. Montrer que \(f_1'\geqslant 0\) et que \(f_1\) est bornée.

7. Quels sont les éléments bornés de \(E\) ?

[oraux/ex5392] mines MP 2012 Soit \(f\,:\;\mathbf{R}^{+*}\to\mathbf{R}\) continue. On considère l’équation différentielle \((E)\) \(y''=f\,y\).

1. Montrer que les zéros des solutions non nulles sont isolés.

2. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \((E)\). Montrer : \[\int_\alpha^\beta\left|f(t)\right|\,dt>\frac4{\beta-\alpha}.\]

[examen/ex1793] mines MP 2024 Soit \(f\) une fonction continue et bornée de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Déterminer les fonctions \(y\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\), de classe \(\mathscr{C}^2\) et bornées, telles que \(y''-y=f\).

[oraux/ex2970] mines PSI 2008 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(p\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\) et \(k\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que la seule solution de l’équation différentielle \(y''+p(x)y'-ky=0\) satisfaisant la condition \(y(a)=y(b)=0\) est la solution nulle.

[oraux/ex3012] polytechnique MP 2009 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\) et \(f\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \(u\) dans \(\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) non identiquement nulle telle que : \(u''+fu=0\) et \(u(a)=u(b)=0\). Montrer : \(\displaystyle\int_a^b|f(t)|\,dt\geqslant(b-a)/4\).

[oraux/ex3075] ens lyon MP 2010 Soient \(q\) une application continue périodique et non identiquement nulle de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(y\) une solution de \(y''+qy=0\). Montrer que \(y\) s’annule une infinité de fois.

[planches/ex1018] mines PSI 2014 Soient \(a\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+a(x)y=0\).

1. Montrer que les wronskiens relatifs à \((E)\) vérifient une équation différentielle du premier ordre.

2. Soit \(T>0\). Montrer que les trois énoncés suivants sont équivalents :

   1. \((E)\) possède un wronskien \(T\)-périodique ;

   2. tous les wronskiens de \((E)\) sont périodiques ;

   3. la fonction \(a\) est \(T\)-périodique de valeur moyenne nulle.

[oraux/ex2942] centrale PC 2006 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et, pour \(f\in E\), \(\mu(f)\) l’élément de \(E\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\mu(f)(x)=f'(x)-xf(x).\]

1. Montrer que \(\mu\) est un endomorphisme de \(E\), déterminer son noyau.

2. L’application \(\mu\) est-elle surjective ?

3. Si \(g\in E\), déterminer \(\mu^{-1}(g)\).

4. Déterminer \(\mu\mathbin{\circ}\mu\).

5. Résoudre : \(y''-2xy'+(x^2-1)y=0\).

6. Si \(n\in\mathbf{N}^*\), résoudre \(\mu^{(n)}(f)=0\).