Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3046] centrale MP 2009 Soit \(b\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) intégrable. Montrer que l’équation \(y''+by=0\) possède des solutions non bornées.

[equadiff/ex0092] Soit \((E)\) l’équation \(x''+q(t)x=0\) où \(q\) est une fonction continue sommable sur \(\mathbf{R}_+\).

1. Montrer que le wronskien de deux solutions est constant.

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[planches/ex1073] tpe PSI 2015 Soit l’équation différentielle \[(E)\quad y''+f(x)y=0,\] où \(f\) est continue et intégrable sur \(\mathbf{R}\).

1. Montrer que si \(y_1\) et \(y_2\) sont solutions de \((E)\) alors \(y_1'y_2-y_2'y_1\) est constante.

2. Montrer que si \(y\) est une solution de \(E\) bornée sur \(\mathbf{R}\) alors \(y'(x)\) admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(+\infty\), puis montrer que cette limite est nulle.

3. Montrer que \((E)\) admet une solution non bornée.

[planches/ex6826] mines MP 2021 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(S\) l’ensemble des solutions de \(y''+fy=0\). On suppose \(f\) intégrable sur \(\mathbf{R}\).

1. Soient \(y_1\), \(y_2\in S\) et \(w=y_1y_2'-y_1'y_2\). Que peut-on dire de \(w\) ?

2. Montrer que \(S\) contient des fonctions non bornées.

[examen/ex1491] polytechnique, espci PC 2024 Soient \(p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) intégrable et \(y:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathscr{C}^{2}\) vérifiant \((E):y''-py=0\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow +\infty }y'(x)=0\). (sic… à prouver lorsque \(y\) est bornée…)

2. On admet que, pour tout \((a,b)\in \mathbb{R}^{2}\), il existe \(y\) vérifiant \((E)\) et \((y(0),y'(0))=(a,b)\).

   Montrer que \((E)\) admet une solution non bornée.

[concours/ex4169] mines M 1990 Soit \(f\in\mathscr{C}(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left|f\right|\) converge. L’équation \(y''+fy=0\) a-t-elle toutes ses solutions bornées ?

[concours/ex0283] mines MP 1996 On considère une application continue \(p:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\left[0,+\infty\right[\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}p(t)\,dt\) converge et l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-p(x)y=0\).

1. Montrer que si \(y\) est une solution bornée de \(E\), alors \(y'\) admet une limite finie, que l’on déterminera, en \(+\infty\).

2. Montrer que \((E)\) admet des solutions non bornées.

[oraux/ex2800] centrale 2003 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) une application continue et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\).

1. Si \(y\) est une solution bornée de \((E)\), que dire de \(y'\) en \(+\infty\) ?

2. Montrer qu’il existe des solutions de \((E)\) non bornées.

[equadiff/ex0880] Équation d’Euler

On considère : \[(E)\qquad x^2y''+a\,xy'+by=c(x),\] avec \(a\), \(b\in\mathbf{R}\). On pose \(x=\varepsilon e^t\) avec \(\varepsilon=\pm1\) et \(y(x)=z(t)\).

1. Montrer que l’équation différentielle en \(z\), transformée de \((E)\) par ce changement de variable, est à coefficients constants.

2. Résoudre par exemple \(x^2y''-5xy'+9y=x+1\).

[examen/ex1790] mines MP 2024 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(ax^2y''+bxy'+cy=0\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

1. Résoudre \((E)\) en utilisant le changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\).

2. Résoudre \(x^2y''+xy'+y=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\).