Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex1350] Étude locale au voisinage de \(0\) de la fonction : \[f:x\longmapsto \mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits\bigl(e^{-x^2}\bigr).\]

[fct.reelles/ex3996] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=\displaystyle{3\over2}\), avec : \[f:x\longmapsto e^{\textstyle{1\over1-x}}.\]

[fct.reelles/ex3993] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=0\), avec : \[f:x\longmapsto{2x^3\over(2x-1)^3}.\]

[oraux/ex5335] mines MP 2012 Déterminer le développement limité en \(0\) à l’ordre \(2\) de \(f:x\mapsto \left(\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(x+\displaystyle\frac\pi4)\right)^{-1/\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(2x)}\). Donner l’allure de la courbe au voisinage de \(0\).

[fct.reelles/ex3994] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=\displaystyle{\pi\over3}\), avec : \[f:x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x.\]

[fct.reelles/ex0362] Étudier les branches infinies de la courbe \(\Gamma\) d’équation \[y={x^3\over x+1}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({x+1\over x}\right)\,.\]

[concours/ex9180] mines PC 2005 On définit \(f\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) par : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)=\displaystyle{1\over x}-{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)}\). Peut-on prolonger \(f\) en une fonction dérivable en 0 ? Soit \(C_f\) le graphe de la fonction ainsi prolongée. Quelle est la tangente \(T\) à \(C_f\) au point d’abscisse zéro ? Déterminer la position de \(C_f\) par rapport à \(T\).

[concours/ex6115] centrale PC 2007 Soit \(f:x\in\left]-1,1\right[\mapsto x^2+x^5\).

1. Montrer qu’il existe \((\alpha,\beta)\in\left]-1,0\right[\times\left]0,1\right[\) tel que, pour tout \(x\) dans \(E\), il existe un unique \(y\) distinct de \(x\) tel que \(f(y)=f(x)\), où \(E=\left]-\alpha,0\right[\cup\left]0,\beta\right[\). On note \(g(x)\) ce \(y\). Chercher la plus grande valeur de \(\alpha\).

2. Montrer que \(g\) est continue, décroissante, de classe \(C^1\) sur \(E\) et prolongeable par continuité en 0.

3. Montrer que \(g(x)\sim-x\) en 0, puis que \(g(x)+x\sim ax^p\) (avec \(p>1\) et \(a\neq0\)) en 0.

4. Montrer que, au voisinage de 0, \(g(x)=-x+ax^p+bx^q+o(x^q)\), avec \(q>p\) et \(b\neq0\).

5. On prend \(x=0,4\). Calculer \(f(x)\) puis évaluer \(f'(x)\).

[fct.reelles/ex0316] Faire une étude locale de \(x\mapsto\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x}\) au point \(x=\displaystyle{\pi\over4}\).

[fct.reelles/ex3986] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto{x^4-6x^2+1\over x^2+1}.\]

[fct.reelles/ex4175] Etudier les branches infinies de la courbe d’équation : \[y=x^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left|{x+1\over x-1}\right|.\]

[oraux/ex4510] ccp PSI 2011

1. Soit \(x\in\mathbf{R}\).

   Montrer qu’il existe un unique \(y\in\mathbf{R}\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(x+y)+y-1=0\). On le note \(\psi(x)\).

2. Donner un développement limité à l’ordre 1 en 0 de \(\psi\).

[fct.reelles/ex4686] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) par : \[f(x)=\cases{3& si $x=1$,\cr\displaystyle{(x+2)(x-1)\over x\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}&si $x>1$.\cr}\] Montrer que \(f\) est continue et dérivable sur \(\left[1,+\infty\right[\).

[fct.reelles/ex4254] Déterminer l’asymptote et la position par rapport à l’asymptote, au voisinage de \(\pm\infty\), de la courbe représentative de : \[f:x\longmapsto(x+1)e^{\textstyle{1\over x}}.\]

[oraux/ex5606] centrale MP 2012 (avec Maple)

1. Si \(x\in\mathbf{R}^+\), montrer qu’il existe un unique \(y\in\mathbf{R}^+\) tel que \(y^4+y=x\). On le note \(f(x)\).

2. Étudier la régularité de \(f\).

3. Tracer le graphe de \(f\) sur \([0,1]\).

4. Donner le développement limité de \(f\) à l’ordre \(6\) en 0.

5. Conjecturer puis démontrer une propriété de ce développement limité.

[fct.reelles/ex3990] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(e^{2x}-e^x+1).\]

[fct.reelles/ex3979] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\over e^x-1}.\]

[fct.reelles/ex1325] Trouver le comportement de la courbe de \(f(x)\) au voisinage de \((1,f(1))\), où \(f(x)=x^3-3x+3\).

[fct.reelles/ex4685] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}_+\) par : \[f(x)=\cases{\displaystyle{1\over6}&si $x=0$,\cr\displaystyle{x-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x^3}&si $x\in\mathbf{R}_+^*$.\cr}\] Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbf{R}_+\).

[fct.reelles/ex4176] Etudier les branches infinies de la courbe d’équation \(y=\sqrt{x^2+3x+1}\).