Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex1046] Étudier la fonction \(x\mapsto\displaystyle{x^2\over x+1}e^{1/x}\) au voisinage de l’infini.

[fct.reelles/ex0316] Faire une étude locale de \(x\mapsto\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x}\) au point \(x=\displaystyle{\pi\over4}\).

[concours/ex6115] centrale PC 2007 Soit \(f:x\in\left]-1,1\right[\mapsto x^2+x^5\).

1. Montrer qu’il existe \((\alpha,\beta)\in\left]-1,0\right[\times\left]0,1\right[\) tel que, pour tout \(x\) dans \(E\), il existe un unique \(y\) distinct de \(x\) tel que \(f(y)=f(x)\), où \(E=\left]-\alpha,0\right[\cup\left]0,\beta\right[\). On note \(g(x)\) ce \(y\). Chercher la plus grande valeur de \(\alpha\).

2. Montrer que \(g\) est continue, décroissante, de classe \(C^1\) sur \(E\) et prolongeable par continuité en 0.

3. Montrer que \(g(x)\sim-x\) en 0, puis que \(g(x)+x\sim ax^p\) (avec \(p>1\) et \(a\neq0\)) en 0.

4. Montrer que, au voisinage de 0, \(g(x)=-x+ax^p+bx^q+o(x^q)\), avec \(q>p\) et \(b\neq0\).

5. On prend \(x=0,4\). Calculer \(f(x)\) puis évaluer \(f'(x)\).

[fct.reelles/ex0362] Étudier les branches infinies de la courbe \(\Gamma\) d’équation \[y={x^3\over x+1}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({x+1\over x}\right)\,.\]

[planches/ex9864] mines MP 2023 Soit \(f:x\in\left]-1,+\infty\right[\mapsto x-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\).

1. Montrer que \(f\) définit une bijection \(f_1\) de \(\left]-1,0\right]\) sur \(\mathbf{R}^+\) et une bijection \(f_2\) de \(\mathbf{R}^+\) sur \(\mathbf{R}^+\).

2. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\). En déduire un équivalent de \(f_1^{-1}\) et \(f_2^{-1}\) en \(0\).

3. Déterminer le développement asymptotique à l’ordre \(2\) de \(f_2^{-1}\) en \(0\).

[fct.reelles/ex4686] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[1,+\infty\right[\) par : \[f(x)=\cases{3& si $x=1$,\cr\displaystyle{(x+2)(x-1)\over x\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}&si $x>1$.\cr}\] Montrer que \(f\) est continue et dérivable sur \(\left[1,+\infty\right[\).

[fct.reelles/ex1034] Soit \(x\mapsto f(x)=x+\displaystyle{1\over 1+e^{1/x}}\) définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’au voisinage de \(0\) : \[f(x)=x+o(x).\] Étudier l’existence d’une asymptote oblique pour la représentation graphique \(C_f\), ainsi que la position relative de \(C_f\) et de son asymptote, au voisinage de \(+\infty\).

[fct.reelles/ex3993] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=0\), avec : \[f:x\longmapsto{2x^3\over(2x-1)^3}.\]

[fct.reelles/ex4183] Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\displaystyle{1\over x^2}-{8\over x+1}\).

1. Etudier \(f\) et montrer que l’équation \(f(x)=0\) a deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\), avec \(-1<\alpha<0<\beta<1\).

2. On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbf{R}^*\setminus\{-1\}\) par : \[F(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{t\in\mathbf{R}\mid f(t)=f(x)\}.\] Etudier la continuité de \(F\) en \(\alpha\) et en \(\beta\) et montrer que l’on peut prolonger \(F\) par continuité en \(-1\) et en \(0\).

3. Déterminer un développement limité à l’ordre 4 en 0 du prolongement \(\overline F\) de \(F\).

[oraux/ex4510] ccp PSI 2011

1. Soit \(x\in\mathbf{R}\).

   Montrer qu’il existe un unique \(y\in\mathbf{R}\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(x+y)+y-1=0\). On le note \(\psi(x)\).

2. Donner un développement limité à l’ordre 1 en 0 de \(\psi\).