Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4178] mines M 1990 Construire l’arc défini par : \(y=\displaystyle{x^2-1\over x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\).

[fct.reelles/ex1273] Soit \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}.\] Étudier la fonction \(f\) au voisinage du point d’abscisse \(1\).

[fct.reelles/ex4253] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\) par : \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}.\]

1. Déterminer la valeur qu’il convient de donner à \(f(1)\) pour que \(f\) ainsi définie sur \(\mathbf{R}_+^*\) soit continue.

2. \(f\) est-elle alors dérivable en \(x_0=1\) ?

[fct.reelles/ex3981] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\) et de \(x_0=-1\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto\left|1+{1\over x}\right|^x.\]

[fct.reelles/ex1356] Soit \(f(x)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\) ; étude locale au voisinage de \(x_0=\displaystyle{\pi\over2}\) et \(x_0=0\).

[fct.reelles/ex1047] Étude au voisinage de \(0\) de la fonction \(f:x\mapsto\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits x}-{1\over x}\).

[fct.reelles/ex1055] Étude de \(f:x\mapsto|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\).

[fct.reelles/ex1046] Étudier la fonction \(x\mapsto\displaystyle{x^2\over x+1}e^{1/x}\) au voisinage de l’infini.

[concours/ex6115] centrale PC 2007 Soit \(f:x\in\left]-1,1\right[\mapsto x^2+x^5\).

1. Montrer qu’il existe \((\alpha,\beta)\in\left]-1,0\right[\times\left]0,1\right[\) tel que, pour tout \(x\) dans \(E\), il existe un unique \(y\) distinct de \(x\) tel que \(f(y)=f(x)\), où \(E=\left]-\alpha,0\right[\cup\left]0,\beta\right[\). On note \(g(x)\) ce \(y\). Chercher la plus grande valeur de \(\alpha\).

2. Montrer que \(g\) est continue, décroissante, de classe \(C^1\) sur \(E\) et prolongeable par continuité en 0.

3. Montrer que \(g(x)\sim-x\) en 0, puis que \(g(x)+x\sim ax^p\) (avec \(p>1\) et \(a\neq0\)) en 0.

4. Montrer que, au voisinage de 0, \(g(x)=-x+ax^p+bx^q+o(x^q)\), avec \(q>p\) et \(b\neq0\).

5. On prend \(x=0,4\). Calculer \(f(x)\) puis évaluer \(f'(x)\).

[fct.reelles/ex3991] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto{x^2\over x+1}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x.\]