Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex3995] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=1\), avec : \[f:x\longmapsto{x^2\over4}(2\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x-3).\]

[fct.reelles/ex3979] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\over e^x-1}.\]

[fct.reelles/ex3991] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto{x^2\over x+1}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x.\]

[fct.reelles/ex4255] Soit \(f\) une fonction de classe \(C^\infty\), sur un voisinage \(V\) de 0, définie par : \[\forall x\in V\qquad x\cdot[f(x)-2]+e^{f(x)-1}-1=0.\]

1. Déterminer un développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de \(f\).

2. En déduire l’allure locale de la courbe représentative de \(f\).

[fct.reelles/ex4685] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}_+\) par : \[f(x)=\cases{\displaystyle{1\over6}&si $x=0$,\cr\displaystyle{x-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x^3}&si $x\in\mathbf{R}_+^*$.\cr}\] Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbf{R}_+\).