Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex1055] Étude de \(f:x\mapsto|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\).

[fct.reelles/ex1356] Soit \(f(x)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\) ; étude locale au voisinage de \(x_0=\displaystyle{\pi\over2}\) et \(x_0=0\).

[fct.reelles/ex3978] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto x^{x^\alpha}.\]

[fct.reelles/ex1272] Soit \[f(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{1\over x}\sqrt{x^4+x^3+1}.\] En déterminant un développement limité généralisé de \(f(x)\) en \(+\infty\), montrer que la courbe d’équation \(y=f(x)\) est asymptote à une parabole dont on donnera une équation.

[fct.reelles/ex4183] Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\displaystyle{1\over x^2}-{8\over x+1}\).

1. Etudier \(f\) et montrer que l’équation \(f(x)=0\) a deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\), avec \(-1<\alpha<0<\beta<1\).

2. On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbf{R}^*\setminus\{-1\}\) par : \[F(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{t\in\mathbf{R}\mid f(t)=f(x)\}.\] Etudier la continuité de \(F\) en \(\alpha\) et en \(\beta\) et montrer que l’on peut prolonger \(F\) par continuité en \(-1\) et en \(0\).

3. Déterminer un développement limité à l’ordre 4 en 0 du prolongement \(\overline F\) de \(F\).