Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex1034] Soit \(x\mapsto f(x)=x+\displaystyle{1\over 1+e^{1/x}}\) définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’au voisinage de \(0\) : \[f(x)=x+o(x).\] Étudier l’existence d’une asymptote oblique pour la représentation graphique \(C_f\), ainsi que la position relative de \(C_f\) et de son asymptote, au voisinage de \(+\infty\).

[fct.reelles/ex1046] Étudier la fonction \(x\mapsto\displaystyle{x^2\over x+1}e^{1/x}\) au voisinage de l’infini.

[fct.reelles/ex3995] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=1\), avec : \[f:x\longmapsto{x^2\over4}(2\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x-3).\]

[fct.reelles/ex1048] Déterminer la position relative de la courbe représentative de \(f\) par rapport à son asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\), pour \[f:x\mapsto\displaystyle{x^3\over(x^2+1)\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x}.\]

[fct.reelles/ex3979] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\over e^x-1}.\]