Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex1046] Étudier la fonction \(x\mapsto\displaystyle{x^2\over x+1}e^{1/x}\) au voisinage de l’infini.

[concours/ex9180] mines PC 2005 On définit \(f\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) par : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)=\displaystyle{1\over x}-{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)}\). Peut-on prolonger \(f\) en une fonction dérivable en 0 ? Soit \(C_f\) le graphe de la fonction ainsi prolongée. Quelle est la tangente \(T\) à \(C_f\) au point d’abscisse zéro ? Déterminer la position de \(C_f\) par rapport à \(T\).

[fct.reelles/ex0316] Faire une étude locale de \(x\mapsto\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x}\) au point \(x=\displaystyle{\pi\over4}\).

[fct.reelles/ex1350] Étude locale au voisinage de \(0\) de la fonction : \[f:x\longmapsto \mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits\bigl(e^{-x^2}\bigr).\]

[concours/ex6115] centrale PC 2007 Soit \(f:x\in\left]-1,1\right[\mapsto x^2+x^5\).

1. Montrer qu’il existe \((\alpha,\beta)\in\left]-1,0\right[\times\left]0,1\right[\) tel que, pour tout \(x\) dans \(E\), il existe un unique \(y\) distinct de \(x\) tel que \(f(y)=f(x)\), où \(E=\left]-\alpha,0\right[\cup\left]0,\beta\right[\). On note \(g(x)\) ce \(y\). Chercher la plus grande valeur de \(\alpha\).

2. Montrer que \(g\) est continue, décroissante, de classe \(C^1\) sur \(E\) et prolongeable par continuité en 0.

3. Montrer que \(g(x)\sim-x\) en 0, puis que \(g(x)+x\sim ax^p\) (avec \(p>1\) et \(a\neq0\)) en 0.

4. Montrer que, au voisinage de 0, \(g(x)=-x+ax^p+bx^q+o(x^q)\), avec \(q>p\) et \(b\neq0\).

5. On prend \(x=0,4\). Calculer \(f(x)\) puis évaluer \(f'(x)\).