Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4510] ccp PSI 2011

1. Soit \(x\in\mathbf{R}\).

   Montrer qu’il existe un unique \(y\in\mathbf{R}\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(x+y)+y-1=0\). On le note \(\psi(x)\).

2. Donner un développement limité à l’ordre 1 en 0 de \(\psi\).

[fct.reelles/ex4685] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}_+\) par : \[f(x)=\cases{\displaystyle{1\over6}&si $x=0$,\cr\displaystyle{x-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x^3}&si $x\in\mathbf{R}_+^*$.\cr}\] Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbf{R}_+\).

[fct.reelles/ex3992] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto x+2-(x-6)e^{-x}.\]

[fct.reelles/ex3990] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(e^{2x}-e^x+1).\]

[fct.reelles/ex3978] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto x^{x^\alpha}.\]

[fct.reelles/ex4176] Etudier les branches infinies de la courbe d’équation \(y=\sqrt{x^2+3x+1}\).

[fct.reelles/ex4183] Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\displaystyle{1\over x^2}-{8\over x+1}\).

1. Etudier \(f\) et montrer que l’équation \(f(x)=0\) a deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\), avec \(-1<\alpha<0<\beta<1\).

2. On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbf{R}^*\setminus\{-1\}\) par : \[F(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{t\in\mathbf{R}\mid f(t)=f(x)\}.\] Etudier la continuité de \(F\) en \(\alpha\) et en \(\beta\) et montrer que l’on peut prolonger \(F\) par continuité en \(-1\) et en \(0\).

3. Déterminer un développement limité à l’ordre 4 en 0 du prolongement \(\overline F\) de \(F\).

[fct.reelles/ex3977] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto x^\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x.\]

[fct.reelles/ex0356] Soit \(f(x)=\sqrt{x^4+x^2+x+1}-(x+2)\sqrt{x^2+3}\). Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathscr{C}\) représentant \(f\).

[fct.reelles/ex3986] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto{x^4-6x^2+1\over x^2+1}.\]

[concours/ex6115] centrale PC 2007 Soit \(f:x\in\left]-1,1\right[\mapsto x^2+x^5\).

1. Montrer qu’il existe \((\alpha,\beta)\in\left]-1,0\right[\times\left]0,1\right[\) tel que, pour tout \(x\) dans \(E\), il existe un unique \(y\) distinct de \(x\) tel que \(f(y)=f(x)\), où \(E=\left]-\alpha,0\right[\cup\left]0,\beta\right[\). On note \(g(x)\) ce \(y\). Chercher la plus grande valeur de \(\alpha\).

2. Montrer que \(g\) est continue, décroissante, de classe \(C^1\) sur \(E\) et prolongeable par continuité en 0.

3. Montrer que \(g(x)\sim-x\) en 0, puis que \(g(x)+x\sim ax^p\) (avec \(p>1\) et \(a\neq0\)) en 0.

4. Montrer que, au voisinage de 0, \(g(x)=-x+ax^p+bx^q+o(x^q)\), avec \(q>p\) et \(b\neq0\).

5. On prend \(x=0,4\). Calculer \(f(x)\) puis évaluer \(f'(x)\).