Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4178] mines M 1990 Construire l’arc défini par : \(y=\displaystyle{x^2-1\over x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\).

[fct.reelles/ex1273] Soit \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}.\] Étudier la fonction \(f\) au voisinage du point d’abscisse \(1\).

[fct.reelles/ex4253] Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}_+^*\setminus\{1\}\) par : \[f(x)={x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}.\]

1. Déterminer la valeur qu’il convient de donner à \(f(1)\) pour que \(f\) ainsi définie sur \(\mathbf{R}_+^*\) soit continue.

2. \(f\) est-elle alors dérivable en \(x_0=1\) ?

[fct.reelles/ex3981] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\) et de \(x_0=-1\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto\left|1+{1\over x}\right|^x.\]

[fct.reelles/ex1356] Soit \(f(x)=|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\) ; étude locale au voisinage de \(x_0=\displaystyle{\pi\over2}\) et \(x_0=0\).

[fct.reelles/ex1047] Étude au voisinage de \(0\) de la fonction \(f:x\mapsto\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits x}-{1\over x}\).

[fct.reelles/ex1055] Étude de \(f:x\mapsto|\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x|^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x}\).

[fct.reelles/ex1048] Déterminer la position relative de la courbe représentative de \(f\) par rapport à son asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\), pour \[f:x\mapsto\displaystyle{x^3\over(x^2+1)\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits x}.\]

[oraux/ex4570] ccp PC 2011 Soit \(f:x\mapsto x(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (1+2x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\). Déterminer le comportement de \(f\) en \(+\infty\). Déterminer l’équation de la droite asymptote à la courbe en \(+\infty\) ainsi que les positions relatives de la courbe et de son asymptote en \(+\infty\).

[fct.reelles/ex3982] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), \(x_0=\pi\), \(x_0=\displaystyle{3\pi\over2}\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x)^{\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits x}.\]

[fct.reelles/ex0362] Étudier les branches infinies de la courbe \(\Gamma\) d’équation \[y={x^3\over x+1}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({x+1\over x}\right)\,.\]

[fct.reelles/ex0316] Faire une étude locale de \(x\mapsto\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits x}\) au point \(x=\displaystyle{\pi\over4}\).

[fct.reelles/ex3978] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto x^{x^\alpha}.\]

[fct.reelles/ex3988] Étudier à l’aide de développements limités les branches infinies de la fonction suivante : direction asymptotique ? asymptote ? branche parabolique ? courbe asymptote ? position de la courbe par rapport à l’asymptote ? \[f:x\longmapsto\sqrt{x^4+4x^3+4x^2+4}.\]

[fct.reelles/ex3993] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=0\), avec : \[f:x\longmapsto{2x^3\over(2x-1)^3}.\]

[fct.reelles/ex1034] Soit \(x\mapsto f(x)=x+\displaystyle{1\over 1+e^{1/x}}\) définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer qu’au voisinage de \(0\) : \[f(x)=x+o(x).\] Étudier l’existence d’une asymptote oblique pour la représentation graphique \(C_f\), ainsi que la position relative de \(C_f\) et de son asymptote, au voisinage de \(+\infty\).

[planches/ex9864] mines MP 2023 Soit \(f:x\in\left]-1,+\infty\right[\mapsto x-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\).

1. Montrer que \(f\) définit une bijection \(f_1\) de \(\left]-1,0\right]\) sur \(\mathbf{R}^+\) et une bijection \(f_2\) de \(\mathbf{R}^+\) sur \(\mathbf{R}^+\).

2. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\). En déduire un équivalent de \(f_1^{-1}\) et \(f_2^{-1}\) en \(0\).

3. Déterminer le développement asymptotique à l’ordre \(2\) de \(f_2^{-1}\) en \(0\).

[fct.reelles/ex3995] Démontrer que la courbe représentative admet un point d’inflexion en \(x_0=1\), avec : \[f:x\longmapsto{x^2\over4}(2\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x-3).\]

[fct.reelles/ex3980] Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0=0\), la tracer au voisinage de \(M_0\left(\vphantom{_|}x_0,f(x_0)\right)\) (on étudiera la possibilité de la prolonger par continuité, la dérivabilité, la position de la courbe par rapport à la tangente…) : \[f:x\longmapsto\sqrt[3]{x^2(x-1)}.\]

[fct.reelles/ex1046] Étudier la fonction \(x\mapsto\displaystyle{x^2\over x+1}e^{1/x}\) au voisinage de l’infini.