Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0027] Soient \(F\) et \(F\,'\) deux points distincts du plan avec \(FF\,'=2c\). Soit \(\mathscr{L}\) l’ensemble des points \(M\) tels que \(FM\times F\,'M=c^2\). Donner une équation cartésienne, puis une équation polaire de \(\mathscr{L}\) dans un repère convenable.

[oraux/ex9456] centrale PSI 2013 Dans \(\mathbf{R}^2\) muni de sa structure euclidienne canonique usuelle, on note \(A(1,0)\) et \(B(-1,0)\). Étudier \(\mathscr{C}=\{M\in\mathbf{R}^2,\ AM\times BM=1\}\).

[geo.diff/ex0419] Tracer la courbe \(r^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\).

[geo.diff/ex0189] Étude de la courbe définie par l’équation polaire : \[\rho=a\sqrt{2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta},\quad\hbox{où}\quad a\in\mathbf{R}_+^*.\]

[geo.diff/ex0424] Tracer la courbe \(r^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\).

[geo.diff/ex0421] Tracer la courbe \(r=1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0417] Tracer la courbe \(r=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0427] Tracer la courbe \(r=4-2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0423] Tracer la courbe \(r=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0192] Si \(a>0\) et \(L\in\{a,a/2\}\), étude de la courbe d’équation polaire \(\rho=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+L\).

[geo.diff/ex0425] Tracer la courbe \(r=4+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0426] Tracer la courbe \(r=2+4\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0422] Tracer la courbe \(r=1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0135] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits{\theta\over2}-1.\]

[oraux/ex1466] centrale 2004 Construire la courbe d’équation polaire \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\).

[geo.diff/ex0040] Construire la courbe \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\).

On précisera le point double et l’asymptote.

[geo.diff/ex0433] Tracer la courbe \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0028] Construire la courbe \(\rho=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits3\theta\), avec \(a>0\).

[concours/ex1322] mines PC 1998 Étudier la courbe d’équation polaire \(\rho=\displaystyle{\theta\over\theta-1}\).

[oraux/ex5402] mines MP 2012 Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=\displaystyle\frac{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

1. Tracer \(\Gamma\). Donner un paramétrage cartésien de \(\Gamma\).

2. Déterminer l’aire de la boucle créée par le point double.

[concours/ex0301] mines MP 1996 Déterminer la solution \(u\) de \(\rho''+\rho=\displaystyle{2\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3\theta}\) telle que \(u\left(\displaystyle{\pi\over2}\right)=3\) et \(u'\left(\displaystyle{\pi\over2}\right)=2\sqrt3\). Tracer la courbe d’équation polaire \(\rho=u(\theta)\).

[geo.diff/ex0190] Étude de la courbe définie par l’équation polaire \(\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{2\theta\over3}\).

[oraux/ex1711] mines MP 2010 Étudier la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta/3)}\).

[concours/ex2958] ccp M 1994 Construire la courbe d’équation polaire : \[\rho=\displaystyle{\theta+1\over\theta-1}.\] Étudier ses points d’inflexion.

[planches/ex5310] mines PC 2019 Soient \(\mathscr{C}\) un cercle de rayon \(r>0\) et \(A\) un point de \(\mathscr{C}\). On note \(\Sigma\) l’ensemble des projetés orthogonaux de \(A\) sur les droites tangentes à \(\mathscr{C}\). Étudier \(\Sigma\). Faire un dessin.

[geo.diff/ex0032] Étudier l’arc \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta}\).

Préciser branches infinies, inflexions, points doubles.

[geo.diff/ex0198] Étude de la courbe définie en polaires par : \[\rho={\theta+1\over\theta-1}.\]

[geo.diff/ex0275] Construire la courbe \(r=\displaystyle{1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

[concours/ex3244] mines M 1993 Construire la courbe en polaires \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

[geo.diff/ex0248] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=e^\theta-1\).

Étudier et tracer \(\Gamma\).

[geo.diff/ex0193] Étude de la courbe définie par l’équation polaire \(\rho=-a\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\), où \(a\in\mathbf{R}_+^*\).

[geo.diff/ex0092] Tracer la courbe \(C\) suivante, définie en polaires par : \[\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits{2\theta\over3}.\]

[oraux/ex1712] mines MP 2010 Étudier la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(3\theta)}\).

[geo.diff/ex0251] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\).

Étudier et tracer \(\Gamma\), on précisera les tangentes à \(\Gamma\) aux points d’angles polaires \(0\), \(\displaystyle{\pi\over2}\), \(\displaystyle{3\pi\over2}\), \(\displaystyle{2\pi\over3}\), \(\pi\), \(2\pi\).

[geo.diff/ex0091] Tracer la courbe \(C\) suivante, définie en polaires par : \[\rho={1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta}.\]

[geo.diff/ex0250] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

Étudier et tracer \(\Gamma\), on précisera ses asymptotes et sa position par rapport à ces dernières.

[geo.diff/ex0041] Construire la courbe \(\rho=\displaystyle{1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\).

Préciser asymptotes et points doubles.

[geo.diff/ex0130] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}.\]

[oraux/ex9458] centrale PC 2013 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation polaire \(r=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\). Tracer \(\mathscr{C}\). Déterminer la limite de \(y(\theta)^2/x(\theta)\) quand \(\theta\rightarrow0\). En déduire une parabole asymptote à la courbe.

[concours/ex3898] ensi M 1992 Tracer et étudier la courbe définie en polaires par : \[\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits{\theta\over3}.\]

[oraux/ex1638] centrale PC 2008 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{C}\) le support de \(t\mapsto\left(\sqrt{1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)}+\sqrt{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)}\right)e^{it}\).

1. Tracer \(\mathscr{C}\). Quelles sont les symétries ?

2. Montrer que \(\mathscr{C}\) est la réunion de quatre graphes : \(\mathscr{C}_1\), \(\mathscr{C}_2\), \(\mathscr{C}_3\), \(\mathscr{C}_4\) qui se déduisent par une rotation à déterminer.

3. Le graphe \(\mathscr{C}_1\) est défini pour \(t\in[-\pi/4,\pi/4]\). Montrer que \(\mathscr{C}_1\) est un demi-cercle dont on déterminera le centre.

4. Calculer les coefficients de Fourier \(c_n(f)\) de \(f\) pour \(n\in\{-5,\ldots,5\}\).

[geo.diff/ex0459] Tracer le graphe de \(r^2=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0216] La partie angulaire de la fonction d’onde de l’orbitale \(3d_{x^2-y^2}\) est : \[Y(\theta,\varphi)={1\over4}\sqrt{15\over\pi}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\varphi.\]

1. Montrer que les axes \(Ox\) et \(Oz\) sont des axes de symétrie de \(\rho=Y(\theta,\varphi)\).

2. Tracer la courbe définie par l’équation polaire \(\rho=Y\Bigl(\displaystyle{\pi\over2},\varphi\Bigr)\), dans le plan \(xOy\), avec \(\varphi\) l’angle entre \(Ox\) et le rayon vecteur.

3. Imaginer la surface définie en sphériques par \(\rho=Y(\theta,\varphi)\) dans l’espace.

[geo.diff/ex0215] La fonction d’onde de l’orbitale \(2p_z\) s’écrit en coordonnées sphériques : \[\psi(\rho,\theta,\varphi)=\left({1\over2\sqrt6}\Bigl({Z\over a_0}\Bigr)^{\!3/2}\,{Z\rho\over a_0}e^{-Z\rho/a_0}\right) \left({\sqrt3\over2\sqrt\pi}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\right).\]

1. Quelle est la particularité de la partie angulaire (le second terme du produit) de la fonction d’onde ? On la note \(Y(\theta)\).

2. Représenter dans le plan \(zOy\) les courbes définies par les équations polaire : \[\rho={\sqrt3\over2\sqrt\pi}|Y(\theta)|\quad\hbox{et}\quad \rho={3\over4\pi}Y^2(\theta),\] où \(\theta\) est l’angle entre \(Oz\) et le rayon vecteur.

[concours/ex3406] ccp M 1993 Étudier la courbe \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\).

[geo.diff/ex0214] L’expression analytique d’une orbitale atomique de niveau \(d\) en coordonnées sphériques s’écrit : \[\Psi(\rho,\theta,\varphi)= \left({4\over81\sqrt{30}}a_0^{-7/2}\rho^2e^{-\rho/3a_0}\right) \left({1\over4}\sqrt{5\over\pi}(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\theta-1)\right).\] On étudie la partie angulaire de la fonction \(\Psi\) c’est-à-dire le second terme du produit que l’on note \(Y\).

1. Représenter la courbe (dans le plan \(xOz\)) définie par l’équation polaire \(\rho=Y(\theta)\), où \(\theta\) est l’angle entre \(Oz\) et le rayon vecteur.

2. En remarquant que \(Y\) ne dépend pas de \(\varphi\), que peut-on en déduire pour la surface obtenue en portant dans la direction donnée \((\theta,\varphi)\) un vecteur proportionnel au carré de la partie angulaire de la fonction d’onde \(\Psi\) ? Tracer l’allure de l’intersection de cette surface avec le plan \(xOz\).

3. Imaginer alors la surface définie en coordonnées sphériques par l’équation \(\rho=Y^2(\theta)\).

[geo.diff/ex0134] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-1}.\]

[geo.diff/ex0245] Étudier et tracer la courbe \(\mathscr{C}\) d’équation polaire : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits3\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}.\]

[oraux/ex1580] centrale PC 2006 Étudier la courbe d’équation polaire \(\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\) et calculer sa tangente au point de paramètre \(\theta\).

[geo.diff/ex0249] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-1}\).

Étudier et tracer \(\Gamma\).