Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1572] centrale MP 2006 Étudier et tracer la courbe d’équation polaire \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\theta)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)}\). Calculer l’aire entre la courbe et l’asymptote.

[geo.diff/ex0214] L’expression analytique d’une orbitale atomique de niveau \(d\) en coordonnées sphériques s’écrit : \[\Psi(\rho,\theta,\varphi)= \left({4\over81\sqrt{30}}a_0^{-7/2}\rho^2e^{-\rho/3a_0}\right) \left({1\over4}\sqrt{5\over\pi}(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\theta-1)\right).\] On étudie la partie angulaire de la fonction \(\Psi\) c’est-à-dire le second terme du produit que l’on note \(Y\).

1. Représenter la courbe (dans le plan \(xOz\)) définie par l’équation polaire \(\rho=Y(\theta)\), où \(\theta\) est l’angle entre \(Oz\) et le rayon vecteur.

2. En remarquant que \(Y\) ne dépend pas de \(\varphi\), que peut-on en déduire pour la surface obtenue en portant dans la direction donnée \((\theta,\varphi)\) un vecteur proportionnel au carré de la partie angulaire de la fonction d’onde \(\Psi\) ? Tracer l’allure de l’intersection de cette surface avec le plan \(xOz\).

3. Imaginer alors la surface définie en coordonnées sphériques par l’équation \(\rho=Y^2(\theta)\).

[oraux/ex1541] tpe PSI 2005 Tracer la courbe définie en coordonnées polaires par \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\).

[oraux/ex1527] centrale PSI 2005 On considère la courbe d’équation polaire \(\rho(\theta)=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits5\theta}\). Rechercher ses points d’inflexion.

[geo.diff/ex0132] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta}.\]

[geo.diff/ex0435] Tracer la courbe \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits4\theta\).

[concours/ex5770] mines MP 2007 Tracer la courbe d’équation polaire \(\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(\theta/2)\).