Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1527] centrale PSI 2005 On considère la courbe d’équation polaire \(\rho(\theta)=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits5\theta}\). Rechercher ses points d’inflexion.

[concours/ex3344] centrale M 1993 Étude et tracé de la courbe de représentation polaire \(\rho=\displaystyle{a\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3\theta}\).

[oraux/ex1607] mines PSI 2008 Étudier la courbe définie par : \(\rho(t)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits t\) et \(\theta(t)=2t-\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits t\).

[concours/ex2714] polytechnique M 1994 Étudier la courbe d’équation polaire \(\rho^2=a^2\theta^4\).

[geo.diff/ex0188] Étude de la courbe définie par l’équation polaire \(\rho=\theta\).

[oraux/ex1580] centrale PC 2006 Étudier la courbe d’équation polaire \(\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\) et calculer sa tangente au point de paramètre \(\theta\).

[concours/ex5770] mines MP 2007 Tracer la courbe d’équation polaire \(\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(\theta/2)\).

[concours/ex2277] polytechnique P 1995 Étudier l’arc paramétré en coordonnées polaires par : \[\theta(t)=t+{1\over t},\qquad r(t)=t^2-4.\]

[geo.diff/ex0141]

1. Tracer \[(C)\ :\ \rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3\theta.\]

2. Déterminer les points de \((C)\) en lesquels la tangente est de pente \(1\).

[oraux/ex1638] centrale PC 2008 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{C}\) le support de \(t\mapsto\left(\sqrt{1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)}+\sqrt{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)}\right)e^{it}\).

1. Tracer \(\mathscr{C}\). Quelles sont les symétries ?

2. Montrer que \(\mathscr{C}\) est la réunion de quatre graphes : \(\mathscr{C}_1\), \(\mathscr{C}_2\), \(\mathscr{C}_3\), \(\mathscr{C}_4\) qui se déduisent par une rotation à déterminer.

3. Le graphe \(\mathscr{C}_1\) est défini pour \(t\in[-\pi/4,\pi/4]\). Montrer que \(\mathscr{C}_1\) est un demi-cercle dont on déterminera le centre.

4. Calculer les coefficients de Fourier \(c_n(f)\) de \(f\) pour \(n\in\{-5,\ldots,5\}\).