Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0214] L’expression analytique d’une orbitale atomique de niveau \(d\) en coordonnées sphériques s’écrit : \[\Psi(\rho,\theta,\varphi)= \left({4\over81\sqrt{30}}a_0^{-7/2}\rho^2e^{-\rho/3a_0}\right) \left({1\over4}\sqrt{5\over\pi}(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\theta-1)\right).\] On étudie la partie angulaire de la fonction \(\Psi\) c’est-à-dire le second terme du produit que l’on note \(Y\).

1. Représenter la courbe (dans le plan \(xOz\)) définie par l’équation polaire \(\rho=Y(\theta)\), où \(\theta\) est l’angle entre \(Oz\) et le rayon vecteur.

2. En remarquant que \(Y\) ne dépend pas de \(\varphi\), que peut-on en déduire pour la surface obtenue en portant dans la direction donnée \((\theta,\varphi)\) un vecteur proportionnel au carré de la partie angulaire de la fonction d’onde \(\Psi\) ? Tracer l’allure de l’intersection de cette surface avec le plan \(xOz\).

3. Imaginer alors la surface définie en coordonnées sphériques par l’équation \(\rho=Y^2(\theta)\).

[oraux/ex3670] polytechnique MP 2011 Tracer la courbe d’équation polaire \(r(\theta)=\displaystyle{1\over2}+\sum\limits_{k=1}^\infty{(-1)^{k-1} \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(3k\theta)\over(3k+1)(3k-1)}\).

[geo.diff/ex0435] Tracer la courbe \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits4\theta\).

[concours/ex3344] centrale M 1993 Étude et tracé de la courbe de représentation polaire \(\rho=\displaystyle{a\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3\theta}\).

[oraux/ex5879] ccp PSI 2012 Étudier les courbes en polaires vérifiant : \(\forall \theta\in\mathbf{R}\), \(\rho (\theta)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta +\rho'(\theta)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta =0\).