Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9456] centrale PSI 2013 Dans \(\mathbf{R}^2\) muni de sa structure euclidienne canonique usuelle, on note \(A(1,0)\) et \(B(-1,0)\). Étudier \(\mathscr{C}=\{M\in\mathbf{R}^2,\ AM\times BM=1\}\).

[geo.diff/ex0027] Soient \(F\) et \(F\,'\) deux points distincts du plan avec \(FF\,'=2c\). Soit \(\mathscr{L}\) l’ensemble des points \(M\) tels que \(FM\times F\,'M=c^2\). Donner une équation cartésienne, puis une équation polaire de \(\mathscr{L}\) dans un repère convenable.

[oraux/ex1663] mines MP 2009 Tracer la courbe d’équation polaire : \(\rho=\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta}\).

[geo.diff/ex0189] Étude de la courbe définie par l’équation polaire : \[\rho=a\sqrt{2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta},\quad\hbox{où}\quad a\in\mathbf{R}_+^*.\]

[geo.diff/ex0424] Tracer la courbe \(r^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\).

[geo.diff/ex0432] Tracer la courbe \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\displaystyle{\theta\over2}\).

[geo.diff/ex0421] Tracer la courbe \(r=1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0423] Tracer la courbe \(r=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0192] Si \(a>0\) et \(L\in\{a,a/2\}\), étude de la courbe d’équation polaire \(\rho=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+L\).

[geo.diff/ex0418] Tracer la courbe \(r=1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0427] Tracer la courbe \(r=4-2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0422] Tracer la courbe \(r=1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0425] Tracer la courbe \(r=4+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

[concours/ex2128] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 Construire la courbe d’équation polaire \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(\theta/2)\).

[geo.diff/ex0135] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits{\theta\over2}-1.\]

[geo.diff/ex0040] Construire la courbe \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\).

On précisera le point double et l’asymptote.

[geo.diff/ex0090] Tracer la courbe \(C\) suivante, définie en polaires par : \[\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta.\]

[geo.diff/ex0191] Étude de la courbe définie par l’équation polaire \(\rho=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits3\theta\), où \(a\in\mathbf{R}_+^*\).

[geo.diff/ex0136] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho={\theta\over\theta-1}.\]

[concours/ex3244] mines M 1993 Construire la courbe en polaires \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

[oraux/ex1711] mines MP 2010 Étudier la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta/3)}\).

[concours/ex0133] polytechnique PC 1996 Étudier la courbe d’équation polaire : \[\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\left({2\over3}\theta\right).\]

[geo.diff/ex0091] Tracer la courbe \(C\) suivante, définie en polaires par : \[\rho={1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta}.\]

[concours/ex0301] mines MP 1996 Déterminer la solution \(u\) de \(\rho''+\rho=\displaystyle{2\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3\theta}\) telle que \(u\left(\displaystyle{\pi\over2}\right)=3\) et \(u'\left(\displaystyle{\pi\over2}\right)=2\sqrt3\). Tracer la courbe d’équation polaire \(\rho=u(\theta)\).

[geo.diff/ex0130] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}.\]

[geo.diff/ex0041] Construire la courbe \(\rho=\displaystyle{1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\).

Préciser asymptotes et points doubles.

[oraux/ex1712] mines MP 2010 Étudier la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(3\theta)}\).

[geo.diff/ex0248] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=e^\theta-1\).

Étudier et tracer \(\Gamma\).

[geo.diff/ex0193] Étude de la courbe définie par l’équation polaire \(\rho=-a\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\), où \(a\in\mathbf{R}_+^*\).

[geo.diff/ex0032] Étudier l’arc \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta}\).

Préciser branches infinies, inflexions, points doubles.

[planches/ex5310] mines PC 2019 Soient \(\mathscr{C}\) un cercle de rayon \(r>0\) et \(A\) un point de \(\mathscr{C}\). On note \(\Sigma\) l’ensemble des projetés orthogonaux de \(A\) sur les droites tangentes à \(\mathscr{C}\). Étudier \(\Sigma\). Faire un dessin.

[geo.diff/ex0198] Étude de la courbe définie en polaires par : \[\rho={\theta+1\over\theta-1}.\]

[geo.diff/ex0273] Construire la courbe d’équation polaire \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\displaystyle{2\theta\over3}\).

[geo.diff/ex0250] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

Étudier et tracer \(\Gamma\), on précisera ses asymptotes et sa position par rapport à ces dernières.

[concours/ex2958] ccp M 1994 Construire la courbe d’équation polaire : \[\rho=\displaystyle{\theta+1\over\theta-1}.\] Étudier ses points d’inflexion.

[oraux/ex9458] centrale PC 2013 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation polaire \(r=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\). Tracer \(\mathscr{C}\). Déterminer la limite de \(y(\theta)^2/x(\theta)\) quand \(\theta\rightarrow0\). En déduire une parabole asymptote à la courbe.

[geo.diff/ex0275] Construire la courbe \(r=\displaystyle{1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

[oraux/ex9496] mines MP 2014 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe polaire d’équation \[r(\theta)=a{(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}.\]

1. Tracer la courbe. En déterminer une équation cartésienne.

2. Calculer l’aire de la boucle délimitée par le point double.

[geo.diff/ex0251] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\).

Étudier et tracer \(\Gamma\), on précisera les tangentes à \(\Gamma\) aux points d’angles polaires \(0\), \(\displaystyle{\pi\over2}\), \(\displaystyle{3\pi\over2}\), \(\displaystyle{2\pi\over3}\), \(\pi\), \(2\pi\).

[concours/ex3900] ensi M 1992 Tracer et étudier la courbe définie en polaires par : \[\rho={a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\theta\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}.\]

[oraux/ex3670] polytechnique MP 2011 Tracer la courbe d’équation polaire \(r(\theta)=\displaystyle{1\over2}+\sum\limits_{k=1}^\infty{(-1)^{k-1} \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(3k\theta)\over(3k+1)(3k-1)}\).

[concours/ex5843] mines PC 2007 Étudier la courbe d’équation polaire \(\rho:\theta\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

[geo.diff/ex0141]

1. Tracer \[(C)\ :\ \rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3\theta.\]

2. Déterminer les points de \((C)\) en lesquels la tangente est de pente \(1\).

[geo.diff/ex0274] Construire la courbe \(r=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta\) ; on précisera les points où la tangente est parallèle à l’axe \((Oy)\).

[geo.diff/ex0132] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta}.\]

[oraux/ex1541] tpe PSI 2005 Tracer la courbe définie en coordonnées polaires par \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\).

[geo.diff/ex0039] Construire la courbe \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits3\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta}\).

[geo.diff/ex0215] La fonction d’onde de l’orbitale \(2p_z\) s’écrit en coordonnées sphériques : \[\psi(\rho,\theta,\varphi)=\left({1\over2\sqrt6}\Bigl({Z\over a_0}\Bigr)^{\!3/2}\,{Z\rho\over a_0}e^{-Z\rho/a_0}\right) \left({\sqrt3\over2\sqrt\pi}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\right).\]

1. Quelle est la particularité de la partie angulaire (le second terme du produit) de la fonction d’onde ? On la note \(Y(\theta)\).

2. Représenter dans le plan \(zOy\) les courbes définies par les équations polaire : \[\rho={\sqrt3\over2\sqrt\pi}|Y(\theta)|\quad\hbox{et}\quad \rho={3\over4\pi}Y^2(\theta),\] où \(\theta\) est l’angle entre \(Oz\) et le rayon vecteur.

[geo.diff/ex0134] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-1}.\]

[oraux/ex1513] mines PC 2005 Étude de la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\).