Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0131] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho={\sqrt{1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}.\]

[geo.diff/ex0246] Étudier et tracer la courbe \(\mathscr{C}\) d’équation polaire : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits4\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}.\]

[oraux/ex1541] tpe PSI 2005 Tracer la courbe définie en coordonnées polaires par \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\).

[oraux/ex1464] centrale 2004 Construire la courbe en polaire d’équation : \[\rho={1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}.\]

[geo.diff/ex0214] L’expression analytique d’une orbitale atomique de niveau \(d\) en coordonnées sphériques s’écrit : \[\Psi(\rho,\theta,\varphi)= \left({4\over81\sqrt{30}}a_0^{-7/2}\rho^2e^{-\rho/3a_0}\right) \left({1\over4}\sqrt{5\over\pi}(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\theta-1)\right).\] On étudie la partie angulaire de la fonction \(\Psi\) c’est-à-dire le second terme du produit que l’on note \(Y\).

1. Représenter la courbe (dans le plan \(xOz\)) définie par l’équation polaire \(\rho=Y(\theta)\), où \(\theta\) est l’angle entre \(Oz\) et le rayon vecteur.

2. En remarquant que \(Y\) ne dépend pas de \(\varphi\), que peut-on en déduire pour la surface obtenue en portant dans la direction donnée \((\theta,\varphi)\) un vecteur proportionnel au carré de la partie angulaire de la fonction d’onde \(\Psi\) ? Tracer l’allure de l’intersection de cette surface avec le plan \(xOz\).

3. Imaginer alors la surface définie en coordonnées sphériques par l’équation \(\rho=Y^2(\theta)\).

[geo.diff/ex0431] Tracer la courbe \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\).

[concours/ex3899] ensi M 1992 Tracer et étudier la courbe définie en polaires par : \[\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left|\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\right|.\]