Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1314] mines MP 1998

1. Résoudre sur \(\left]0,\pi\right[\) le problème de Cauchy : \[\rho''(\theta)+\rho(\theta)={2\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3\theta}, \quad\rho\left({\pi\over2}\right)=3, \quad\rho'\left({\pi\over2}\right)=2\sqrt3.\]

2. Tracer la courbe de représentation polaire \(\theta\mapsto\rho(\theta)\).

[geo.diff/ex0041] Construire la courbe \(\rho=\displaystyle{1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\).

Préciser asymptotes et points doubles.

[concours/ex0133] polytechnique PC 1996 Étudier la courbe d’équation polaire : \[\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\left({2\over3}\theta\right).\]

[geo.diff/ex0248] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=e^\theta-1\).

Étudier et tracer \(\Gamma\).

[geo.diff/ex0193] Étude de la courbe définie par l’équation polaire \(\rho=-a\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\), où \(a\in\mathbf{R}_+^*\).

[concours/ex3244] mines M 1993 Construire la courbe en polaires \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

[concours/ex2958] ccp M 1994 Construire la courbe d’équation polaire : \[\rho=\displaystyle{\theta+1\over\theta-1}.\] Étudier ses points d’inflexion.

[geo.diff/ex0130] Construire la courbe suivante, définie en coordonnées polaires : \[\rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}.\]

[geo.diff/ex0275] Construire la courbe \(r=\displaystyle{1+2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

[oraux/ex1712] mines MP 2010 Étudier la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(3\theta)}\).

[oraux/ex5402] mines MP 2012 Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=\displaystyle\frac{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

1. Tracer \(\Gamma\). Donner un paramétrage cartésien de \(\Gamma\).

2. Déterminer l’aire de la boucle créée par le point double.

[geo.diff/ex0032] Étudier l’arc \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta}\).

Préciser branches infinies, inflexions, points doubles.

[geo.diff/ex0091] Tracer la courbe \(C\) suivante, définie en polaires par : \[\rho={1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta}.\]

[geo.diff/ex0250] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over1-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

Étudier et tracer \(\Gamma\), on précisera ses asymptotes et sa position par rapport à ces dernières.

[planches/ex5310] mines PC 2019 Soient \(\mathscr{C}\) un cercle de rayon \(r>0\) et \(A\) un point de \(\mathscr{C}\). On note \(\Sigma\) l’ensemble des projetés orthogonaux de \(A\) sur les droites tangentes à \(\mathscr{C}\). Étudier \(\Sigma\). Faire un dessin.

[geo.diff/ex0198] Étude de la courbe définie en polaires par : \[\rho={\theta+1\over\theta-1}.\]

[oraux/ex1711] mines MP 2010 Étudier la courbe d’équation polaire : \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta/3)}\).

[geo.diff/ex0251] Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\).

Étudier et tracer \(\Gamma\), on précisera les tangentes à \(\Gamma\) aux points d’angles polaires \(0\), \(\displaystyle{\pi\over2}\), \(\displaystyle{3\pi\over2}\), \(\displaystyle{2\pi\over3}\), \(\pi\), \(2\pi\).

[oraux/ex9458] centrale PC 2013 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation polaire \(r=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\). Tracer \(\mathscr{C}\). Déterminer la limite de \(y(\theta)^2/x(\theta)\) quand \(\theta\rightarrow0\). En déduire une parabole asymptote à la courbe.

[oraux/ex5879] ccp PSI 2012 Étudier les courbes en polaires vérifiant : \(\forall \theta\in\mathbf{R}\), \(\rho (\theta)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta +\rho'(\theta)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta =0\).