Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4401] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soient \(f:r\mapsto\displaystyle{r^3-3r\over r+1}\) et \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta=f(r)\).

1. Étudier \(f\). En déduire l’intervalle « utile » pour l’étude de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(g:r\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits(f(r))\). Étudier \(g\) et tracer son graphe.

3. Donner les équations des tangentes ou demi-tangentes à \(\mathscr{C}\) aux points où \(\mathscr{C}\) coupe les axes.

4. Étudier les points doubles et tracer \(\mathscr{C}\).

[geo.diff/ex0145]

1. Tracer \((C)\) : \(\rho=-1+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\).

2. Une droite variable \((D)\) passant par \(O\) coupe \((C)\) en \(M_1\) et \(M_2\). Déterminer le lieu \(I\) du milieu de \(M_1M_2\).

[geo.diff/ex0490] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

[oraux/ex5882] ccp PSI 2012 Un point \(P\) parcourt le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\). Déterminer la position du point de contact entre la droite \((OP)\) et le cercle inscrit dans le triangle \(OAP\), puis l’aire de la surface délimitée par ces points.

[oraux/ex1687] centrale PC 2009 Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho(\theta)=\displaystyle{2\over2+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\). Déterminer les axes de symétrie de la courbe.

[geo.diff/ex0143] Pour \((a,b,n)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times(\mathbf{N}\setminus\{0,1\})\), montrer que les points d’inflexion de la courbe d’équation polaire : \[\rho={1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits n\theta+a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+b\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\] sont alignés.

[concours/ex1549] centrale MP 1998 Déterminer les courbes définies en polaires par \(\rho=f(\theta)\) telles que \(2V+\theta=0\) (où \(V\) désigne l’angle du vecteur tangent avec le rayon vecteur).

[geo.diff/ex0438] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=4\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\) et \(r=4\sqrt3\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[oraux/ex1713] mines MP 2010 Étudier la courbe \(\mathscr{C}\) d’équation polaire \(\rho=a(a-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), où \(a>0\). Une droite \(\mathscr{D}\) passant par l’origine coupe \(\mathbf{C}\) en deux points \(P\) et \(Q\). On note \(I\) le milieu de \([PQ]\). Déterminer le lieu de \(I\) lorsque \(\mathscr{D}\) varie.

[equadiff/ex0532] L’aire du secteur délimité par un arc de courbe et les rayons vecteurs aux extrémités de l’arc est égale à la moitié de la longueur de l’arc. Trouver la courbe.

[geo.diff/ex0031] On considère un arc \(\Gamma\) de classe \(C^1\) de la forme \(\rho=\rho(\theta)\) et on suppose que \(\rho\) et \(\rho'\) ne s’annulent pas. Au point \(M\) de paramètre \(\theta\), la tangente et la normale à \(\Gamma\) coupent respectivement l’axe \(OY\) du repère mobile aux points \(T\) et \(N\).

1. Calculer \(\overline{OT}\) et \(\overline{ON}\).

2. Déterminer les arcs tels que \(\overline{ON}\) soit constant, puis ceux tels que \(\overline{OT}\) soit constant.

[concours/ex4293] centrale M 1990 Soit \(C\) un cercle de centre \(O\) dans un plan euclidien, \(A\) un point fixe du cercle, \(P\) et \(Q\) deux points variables du cercle tels que : \[\bigl(\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}},\mathchoice{\overrightarrow{OP}}{\overrightarrow{OP}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OP}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OP}}\bigr)=2\varphi, \qquad\bigl(\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}},\mathchoice{\overrightarrow{OQ}}{\overrightarrow{OQ}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OQ}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OQ}}\bigr)=-\varphi\quad\hbox{($\varphi$ variable).}\] déterminer l’équation polaire du lieu du milieu \(M\) de \([P,Q]\). Tracé.

[equadiff/ex0544] Trouver l’équation de la courbe pour laquelle la sous-normale polaire a pour longueur deux fois la valeur du sinus de l’angle entre le rayon vecteur et l’axe \(Ox\).

[concours/ex0289] mines MP 1996 On considère le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé et les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) de coordonnées respectives \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\). Étudier l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(AM.BM.CM.DM=1\).

[equadiff/ex0533] Trouver la courbe pour laquelle la portion de tangente comprise entre le point de contact et le pied de la perpendiculaire à la tangente issue du pôle est le tiers du rayon vecteur au point de contact.

[geo.diff/ex0146]

1. Tracer \((C)\) : \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3\displaystyle{\theta\over3}}\).

2. Une droite \((D_\theta)\), passant par \(O\) et d’angle polaire \(\theta\), coupe \((C)\) en trois points. Montrer que les tangentes à \((C)\) en ces trois points forment un triangle équilatéral.

[oraux/ex1579] centrale PC 2006 Dans le plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec\imath,\vec\jmath)\), on considère le point \(A(a,0)\) où \(a>0\) est fixé. On considère le cercle \((C)\) centré en un point \(P\) de \(Oy\) et qui passe par \(O\). La droite \((AP)\) coupe le cercle en deux points \(M\) et \(N\).

1. Équation paramétrique de \((\Gamma)\), courbe décrite par \(M\) et \(N\) lorsque \(P\) se déplace sur \((Oy)\) ?

2. Paramétrer \((\Gamma)\) en polaires.

[geo.diff/ex0042] Déterminer l’ensemble des points d’où on peut mener deux tangentes orthogonales à la cardioïde d’équation \(\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\). En faire le tracé en s’aidant d’une représentation polaire avec un pôle \(O'\) judicieux.

[equadiff/ex0340] Trouver l’équation différentielle de la famille de cardioïdes : \(\rho=a(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), où \(a\) est une constante arbitraire.

[geo.diff/ex0441] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=1\) et \(r=-1\).