Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0438] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=4\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\) et \(r=4\sqrt3\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[equadiff/ex0533] Trouver la courbe pour laquelle la portion de tangente comprise entre le point de contact et le pied de la perpendiculaire à la tangente issue du pôle est le tiers du rayon vecteur au point de contact.

[equadiff/ex0544] Trouver l’équation de la courbe pour laquelle la sous-normale polaire a pour longueur deux fois la valeur du sinus de l’angle entre le rayon vecteur et l’axe \(Ox\).

[oraux/ex4401] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soient \(f:r\mapsto\displaystyle{r^3-3r\over r+1}\) et \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta=f(r)\).

1. Étudier \(f\). En déduire l’intervalle « utile » pour l’étude de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(g:r\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits(f(r))\). Étudier \(g\) et tracer son graphe.

3. Donner les équations des tangentes ou demi-tangentes à \(\mathscr{C}\) aux points où \(\mathscr{C}\) coupe les axes.

4. Étudier les points doubles et tracer \(\mathscr{C}\).

[oraux/ex1713] mines MP 2010 Étudier la courbe \(\mathscr{C}\) d’équation polaire \(\rho=a(a-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), où \(a>0\). Une droite \(\mathscr{D}\) passant par l’origine coupe \(\mathbf{C}\) en deux points \(P\) et \(Q\). On note \(I\) le milieu de \([PQ]\). Déterminer le lieu de \(I\) lorsque \(\mathscr{D}\) varie.

[geo.diff/ex0437] Trouver tous les points d’intersection des courbes \(r=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\) et \(r=1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\).

[geo.diff/ex0143] Pour \((a,b,n)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times(\mathbf{N}\setminus\{0,1\})\), montrer que les points d’inflexion de la courbe d’équation polaire : \[\rho={1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits n\theta+a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+b\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\] sont alignés.

[equadiff/ex0532] L’aire du secteur délimité par un arc de courbe et les rayons vecteurs aux extrémités de l’arc est égale à la moitié de la longueur de l’arc. Trouver la courbe.

[oraux/ex5882] ccp PSI 2012 Un point \(P\) parcourt le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\). Déterminer la position du point de contact entre la droite \((OP)\) et le cercle inscrit dans le triangle \(OAP\), puis l’aire de la surface délimitée par ces points.

[oraux/ex1687] centrale PC 2009 Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho(\theta)=\displaystyle{2\over2+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\). Déterminer les axes de symétrie de la courbe.