Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0471] centrale MP 1996 Une cardioïde est une courbe du plan ayant pour équation polaire \[\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\] dans un certain repère orthonormé direct. Une cardioïde \(\Gamma\) roule sans glisser sur une droite \(D\). Trouver la trajectoire de son point de rebroussement.

[geo.diff/ex0089]

1. Soit \(a\in\mathbf{R}_+^*\). Tracer la courbe \(C\) de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{rcl} x&=& a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\\ y&=& a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t,\end{array}\right.\] appelée astroïde.

2. Déterminer et tracer la courbe orthoptique de \(C\), c’est-à-dire l’ensemble des points d’où l’on peut mener (au moins) deux tangentes à \(C\) orthogonales.

[geo.diff/ex0142]

1. Construire \[(C)\ :\ \rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over\theta}.\]

2. Une droite \((\Delta)\) passant par \(O\) coupe \((C)\) en une infinité de points. Montrer que les tangentes à \((C)\) en ces points passent toutes par un point fixe.

[concours/ex0986] centrale MP 1997 Une cardioïde roule sans glisser sur une droite. Trouver la trajectoire de son point de rebroussement.

[concours/ex0289] mines MP 1996 On considère le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé et les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) de coordonnées respectives \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\). Étudier l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(AM.BM.CM.DM=1\).

[equadiff/ex0554] Trouver les trajectoires orthogonales de la famille de courbes définie par : \[\rho=a(\mathop{\mathchoice{\hbox{sec}}{\hbox{sec}}{\mathrm{sec}}{\mathrm{sec}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta).\]

[oraux/ex1610] mines PC 2008 Soient \(\mathscr{C}\) un cercle de centre \(O\) et \(A\in\mathscr{C}\). Si \(M\in\mathscr{C}\), soit \(P\) la projection orthogonale de \(A\) sur la tangente en \(M\) à \(\mathscr{C}\). Déterminer le lieu des points \(P\) quand \(M\) parcourt \(\mathscr{C}\).

[concours/ex2130] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 Soit \(Oxy\) un repère orthonormal du plan. Déterminer les arcs \(\Gamma\), \(C^1\), réguliers, tels que la symétrique de la tangente en tout point \(M\) de \(\Gamma\) par rapport à \(OM\) soit parallèle à \(Ox\).

[concours/ex0553] tpe, int, ivp MP 1996

1. Étudier les courbes planes telles que l’angle de la tangente avec l’axe polaire est égal à \(n\) fois l’angle polaire.

2. Représenter ces courbes pour \(n\) entier, \(1\leqslant n\leqslant 4\).

[equadiff/ex0533] Trouver la courbe pour laquelle la portion de tangente comprise entre le point de contact et le pied de la perpendiculaire à la tangente issue du pôle est le tiers du rayon vecteur au point de contact.