Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0030] Soit \(\Gamma\) la courbe \(\rho=ae^{m\theta}\), avec \(a>0\), \(m\neq0\).

1. Faire une étude rapide de \(\Gamma\). Montrer que \(V\), mesure de l’angle orienté entre \(\vec u(\theta)\) et le vecteur tangent, est constant modulo \(2\pi\).

2. Réciproquement, déterminer les courbes \(\rho=\rho(\theta)\) de classe \(C^1\) ne passant pas par \(O\) telles que \(V\) soit constant.

3. Que peut-on dire de l’image de \(\Gamma\) par une similitude directe ? Déterminer les similitudes directes \(s\) telles que \(s(\Gamma)=\Gamma\).

[oraux/ex1697] ccp PSI 2009 Dans le plan euclidien, soient \(A\) et \(O\) deux points distincts et \(\mathscr{C}\) le cercle de centre \(O\) passant par \(A\). Déterminer le lieu de l’orthocentre du triangle \(OMA\) lorsque \(M\) parcourt \(\mathscr{C}\).

[geo.diff/ex0089]

1. Soit \(a\in\mathbf{R}_+^*\). Tracer la courbe \(C\) de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{rcl} x&=& a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\\ y&=& a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t,\end{array}\right.\] appelée astroïde.

2. Déterminer et tracer la courbe orthoptique de \(C\), c’est-à-dire l’ensemble des points d’où l’on peut mener (au moins) deux tangentes à \(C\) orthogonales.

[geo.diff/ex0142]

1. Construire \[(C)\ :\ \rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over\theta}.\]

2. Une droite \((\Delta)\) passant par \(O\) coupe \((C)\) en une infinité de points. Montrer que les tangentes à \((C)\) en ces points passent toutes par un point fixe.

[concours/ex0471] centrale MP 1996 Une cardioïde est une courbe du plan ayant pour équation polaire \[\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\] dans un certain repère orthonormé direct. Une cardioïde \(\Gamma\) roule sans glisser sur une droite \(D\). Trouver la trajectoire de son point de rebroussement.