Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0034] Soit \(\Gamma\) la cardioïde d’équation \(\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), avec \(a>0\).

1. Faire une étude rapide de \(\Gamma\). On précisera l’angle \(V\) entre \(\vec u(\theta)\) et le vecteur tangent en \(\theta\).

2. Montrer que \(\Gamma\) admet trois tangentes ayant une direction donnée. Déterminer l’isobarycentre des points de contact.

3. Que peut-on dire des tangentes à \(\Gamma\) en deux points alignés avec \(O\) ? Donner des équations normales de ces deux tangentes et déterminer leur point d’intersection. Quel ensemble décrit-il ?

[equadiff/ex0545] Trouver l’équation de la courbe pour laquelle l’angle entre le rayon vecteur et la tangente est égal à la moitié de l’angle entre le rayon vecteur et l’axe \(Ox\).

[concours/ex2530] centrale M 1995 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation polaire : \[\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta),\quad\hbox{avec }a>0.\]

1. Montrer que si l’on choisit une direction de droite \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\), il existe trois points \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) de \(\mathscr{C}\) en lesquels la tangente a pour direction \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\).

2. Lieu de l’isobarycentre de \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quand la direction de \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\) varie.

3. Montrer que l’aire du triangle \(M_1M_2M_3\) est indépendante de la direction choisie.

[oraux/ex9446] centrale PSI 2013 Soient \(C\) un cercle de centre \(O\), \(A\) un point fixé de \(C\), et \(M\) un point décrivant \(C\). Déterminer le lieu décrit par le centre de gravité du triangle \(OAM\).

[geo.diff/ex0030] Soit \(\Gamma\) la courbe \(\rho=ae^{m\theta}\), avec \(a>0\), \(m\neq0\).

1. Faire une étude rapide de \(\Gamma\). Montrer que \(V\), mesure de l’angle orienté entre \(\vec u(\theta)\) et le vecteur tangent, est constant modulo \(2\pi\).

2. Réciproquement, déterminer les courbes \(\rho=\rho(\theta)\) de classe \(C^1\) ne passant pas par \(O\) telles que \(V\) soit constant.

3. Que peut-on dire de l’image de \(\Gamma\) par une similitude directe ? Déterminer les similitudes directes \(s\) telles que \(s(\Gamma)=\Gamma\).