Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2048] centrale MP 1999 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\). Une droite passant par l’origine \(O\) recoupe \(\mathscr{C}\) en \(P\) et \(Q\).

1. Trouver le lieu de l’isobarycentre de \(P\), \(Q\) et \(A(2,0)\).

2. Lieu de l’intersection des tangentes à \(\mathscr{C}\) en \(P\) et \(Q\).

[geo.diff/ex0034] Soit \(\Gamma\) la cardioïde d’équation \(\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), avec \(a>0\).

1. Faire une étude rapide de \(\Gamma\). On précisera l’angle \(V\) entre \(\vec u(\theta)\) et le vecteur tangent en \(\theta\).

2. Montrer que \(\Gamma\) admet trois tangentes ayant une direction donnée. Déterminer l’isobarycentre des points de contact.

3. Que peut-on dire des tangentes à \(\Gamma\) en deux points alignés avec \(O\) ? Donner des équations normales de ces deux tangentes et déterminer leur point d’intersection. Quel ensemble décrit-il ?

[oraux/ex1717] mines PSI 2010 Un point \(M\) décrit le cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O(0,0)\) passant par \(A(a,0)\). Déterminer le lieu des centres de gravité, puis le lieu des orthocentres, du triangle \(OMA\).

[concours/ex2530] centrale M 1995 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation polaire : \[\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta),\quad\hbox{avec }a>0.\]

1. Montrer que si l’on choisit une direction de droite \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\), il existe trois points \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) de \(\mathscr{C}\) en lesquels la tangente a pour direction \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\).

2. Lieu de l’isobarycentre de \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quand la direction de \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\) varie.

3. Montrer que l’aire du triangle \(M_1M_2M_3\) est indépendante de la direction choisie.

[equadiff/ex0545] Trouver l’équation de la courbe pour laquelle l’angle entre le rayon vecteur et la tangente est égal à la moitié de l’angle entre le rayon vecteur et l’axe \(Ox\).