Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0143] Pour \((a,b,n)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times(\mathbf{N}\setminus\{0,1\})\), montrer que les points d’inflexion de la courbe d’équation polaire : \[\rho={1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits n\theta+a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+b\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\] sont alignés.

[geo.diff/ex0201] On considère la famille des courbes \((\theta_k)\) ayant pour équation polaire : \[\rho^4-2a^2\rho^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta= (k^4-1)a^4,\quad\hbox{où}\quad(a,k)\in(\mathbf{R}_+^*)^2.\]

1. Quelle est l’équation cartésienne des courbes \((\theta_k)\) ?

2. Quelles sont les symétries communes à ces courbes ?

3. Montrer qu’il existe sur \((Ox)\) deux points fixes \(F\) et \(F\,'\) tels que \(MF\cdot MF\,'\) reste constant quand \(M\) décrit chacune des courbes \((\theta_k)\).

4. Préciser l’ensemble des points des courbes \(\theta_k\), où la tangente est parallèle à l’axe \(Ox\). Indiquer les points des courbes \((\theta_k)\) situés sur l’un ou l’autre axe et donner l’allure des différentes courbes de la famille.

[concours/ex2914] centrale M 1994 On appelle podaire de la courbe \(\mathscr{C}\) vue de \(O\) l’ensemble des projections orthogonales de \(O\) sur les tangentes à \(\mathscr{C}\).

1. Quelle est la courbe admettant pour podaire vue de \(O\) la courbe d’équation polaire \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\) ?

2. On suppose que \(\mathscr{C}\) passe par \(O\). Étudier localement sa podaire vue de \(O\) au voisinage de \(O\) et préciser en particulier sa tangente.

[geo.diff/ex0439] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=\sqrt2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(r^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\).

[geo.diff/ex0031] On considère un arc \(\Gamma\) de classe \(C^1\) de la forme \(\rho=\rho(\theta)\) et on suppose que \(\rho\) et \(\rho'\) ne s’annulent pas. Au point \(M\) de paramètre \(\theta\), la tangente et la normale à \(\Gamma\) coupent respectivement l’axe \(OY\) du repère mobile aux points \(T\) et \(N\).

1. Calculer \(\overline{OT}\) et \(\overline{ON}\).

2. Déterminer les arcs tels que \(\overline{ON}\) soit constant, puis ceux tels que \(\overline{OT}\) soit constant.