Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0034] Soit \(\Gamma\) la cardioïde d’équation \(\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), avec \(a>0\).

1. Faire une étude rapide de \(\Gamma\). On précisera l’angle \(V\) entre \(\vec u(\theta)\) et le vecteur tangent en \(\theta\).

2. Montrer que \(\Gamma\) admet trois tangentes ayant une direction donnée. Déterminer l’isobarycentre des points de contact.

3. Que peut-on dire des tangentes à \(\Gamma\) en deux points alignés avec \(O\) ? Donner des équations normales de ces deux tangentes et déterminer leur point d’intersection. Quel ensemble décrit-il ?

[concours/ex2530] centrale M 1995 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation polaire : \[\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta),\quad\hbox{avec }a>0.\]

1. Montrer que si l’on choisit une direction de droite \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\), il existe trois points \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) de \(\mathscr{C}\) en lesquels la tangente a pour direction \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\).

2. Lieu de l’isobarycentre de \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quand la direction de \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\) varie.

3. Montrer que l’aire du triangle \(M_1M_2M_3\) est indépendante de la direction choisie.

[geo.diff/ex0142]

1. Construire \[(C)\ :\ \rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over\theta}.\]

2. Une droite \((\Delta)\) passant par \(O\) coupe \((C)\) en une infinité de points. Montrer que les tangentes à \((C)\) en ces points passent toutes par un point fixe.

[geo.diff/ex0280] Soit \((A,B,C)\) un triangle équilatéral du plan, soit \(O\) l’isobarycentre de ce triangle, on suppose que la distance \(OA\) est égale à \(1\), déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(MA\cdot MB\cdot MC=1\).

[geo.diff/ex0033] Soit \(\Gamma\) la courbe décrite par \(M(t)\) : \(x=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\), \(y=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\) (\(a>0\)). Le but de cet exercice est de déterminer une équation polaire de l’ensemble \((R)\) des points d’où on peut mener deux tangentes à \(\Gamma\) orthogonales.

1. Trouver une équation normale de la tangente \(\Delta(t)\) en \(t\) à \(\Gamma\). Préciser modulo \(\pi\) l’angle orienté \(\alpha(t)\) entre \(Ox\) et \(\Delta(t)\). A quelle condition \(\Delta(t)\) et \(\Delta(u)\) sont-elles orthogonales ?

2. Calculer l’affixe du point d’intersection \(N(t)\) de \(\Delta(t)\) et de \(\Delta(t-\pi/2)\). En déduire une équation polaire de \((R)\). Représenter \(\Gamma\) et \((R)\).

3. On pose \(t_0=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits 2\). Montrer que les réels \(t\) tels que \(N(t)=M(t)\) se déduisent simplement de \(t_0\). Montrer qu’en un tel point, \(\Gamma\) et \((R)\) sont tangentes.