Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1738] centrale PC 2010 On se place dans le plan euclidien \(\mathbf{R}^2\). Soient \(a>0\), \(A(a,0)\) et \(B(-a,0)\). Déterminer l’ensemble \(\mathscr{C}_a\) des \(M\in\mathbf{R}^2\) tels que : \(MA\times MB=a^2\). Donner une représentation polaire de \(\mathscr{C}_a\) ; tracer la courbe.

[oraux/ex1698] ccp PSI 2009 Dans le plan euclidien usuel, soit \(A(-1,0)\) et \(B(1,0)\). En utilisant les coordonnées polaires, trouver l’ensemble \(\Gamma\) des points \(M\) tels que \(MA\times MB=1\). Calculer l’aire intérieure à \(\Gamma\).

[equadiff/ex0531] Trouver la courbe satisfaisant à la propriété suivante : en tout point l’angle que fait le rayon vecteur avec la tangente est égal au tiers de l’angle de la tangente et de l’axe \(Ox\).

[oraux/ex1717] mines PSI 2010 Un point \(M\) décrit le cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O(0,0)\) passant par \(A(a,0)\). Déterminer le lieu des centres de gravité, puis le lieu des orthocentres, du triangle \(OMA\).

[oraux/ex1459] mines 2004 On note \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

1. Tracer \(\Gamma\).

   On note \(A\) le point de coordonnées polaires \(\rho=2\) et \(\theta=0\). Une droite variable passe par \(O\) et recoupe \(\Gamma\) en deux points \(P\) et \(Q\).

2. Déterminer le lieu du centre de gravité du triangle \(APQ\).

3. Déterminer le lieu de l’intersection des tangentes à \(\Gamma\) en \(P\) et \(Q\).

[concours/ex2530] centrale M 1995 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation polaire : \[\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta),\quad\hbox{avec }a>0.\]

1. Montrer que si l’on choisit une direction de droite \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\), il existe trois points \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) de \(\mathscr{C}\) en lesquels la tangente a pour direction \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\).

2. Lieu de l’isobarycentre de \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quand la direction de \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\) varie.

3. Montrer que l’aire du triangle \(M_1M_2M_3\) est indépendante de la direction choisie.

[oraux/ex1697] ccp PSI 2009 Dans le plan euclidien, soient \(A\) et \(O\) deux points distincts et \(\mathscr{C}\) le cercle de centre \(O\) passant par \(A\). Déterminer le lieu de l’orthocentre du triangle \(OMA\) lorsque \(M\) parcourt \(\mathscr{C}\).

[geo.diff/ex0093] Tracer la courbe \(C\) suivante, appelée spirale logarithmique, définie en polaires par : \[\rho=ae^{\lambda\theta}, \quad\hbox{où}\quad (a\lambda)\in\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R}.\]

[equadiff/ex0545] Trouver l’équation de la courbe pour laquelle l’angle entre le rayon vecteur et la tangente est égal à la moitié de l’angle entre le rayon vecteur et l’axe \(Ox\).

[geo.diff/ex0034] Soit \(\Gamma\) la cardioïde d’équation \(\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), avec \(a>0\).

1. Faire une étude rapide de \(\Gamma\). On précisera l’angle \(V\) entre \(\vec u(\theta)\) et le vecteur tangent en \(\theta\).

2. Montrer que \(\Gamma\) admet trois tangentes ayant une direction donnée. Déterminer l’isobarycentre des points de contact.

3. Que peut-on dire des tangentes à \(\Gamma\) en deux points alignés avec \(O\) ? Donner des équations normales de ces deux tangentes et déterminer leur point d’intersection. Quel ensemble décrit-il ?

[concours/ex3786] centrale M 1992 Trouver le lieu des points d’intersection des tangentes à une cardioïde menée de deux points \(M\) et \(N\) tels que \(M\), \(O\) et \(N\) soient alignés.

[geo.diff/ex0279]

1. Tracer la courbe d’équation polaire \(\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\).

2. Calculer la longueur de cette courbe puis l’aire délimitée par cette courbe.

3. Montrer que pour tout \(m\in\mathbf{R}\), il existe trois points sur la courbe dont la tangente a pour pente \(m\).

4. Déterminer l’isobarycentre de ces trois points.

[geo.diff/ex0030] Soit \(\Gamma\) la courbe \(\rho=ae^{m\theta}\), avec \(a>0\), \(m\neq0\).

1. Faire une étude rapide de \(\Gamma\). Montrer que \(V\), mesure de l’angle orienté entre \(\vec u(\theta)\) et le vecteur tangent, est constant modulo \(2\pi\).

2. Réciproquement, déterminer les courbes \(\rho=\rho(\theta)\) de classe \(C^1\) ne passant pas par \(O\) telles que \(V\) soit constant.

3. Que peut-on dire de l’image de \(\Gamma\) par une similitude directe ? Déterminer les similitudes directes \(s\) telles que \(s(\Gamma)=\Gamma\).

[geo.diff/ex0489] Montrer qu’une courbe telle que l’angle \(\psi\) entre le rayon vecteur et la tangente est égal à la moitié de l’angle \(\theta\) entre le rayon vecteur et l’axe des abscisses, est nécessairement une cardioïde \(r=a(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\).

[geo.diff/ex0496] Montrer que si une courbe est telle qu’en chaque point, l’angle entre le rayon vecteur et la tangente est constant, alors c’est une spirale logarithmique \(r=ae^{c\theta}\).

[concours/ex2048] centrale MP 1999 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\). Une droite passant par l’origine \(O\) recoupe \(\mathscr{C}\) en \(P\) et \(Q\).

1. Trouver le lieu de l’isobarycentre de \(P\), \(Q\) et \(A(2,0)\).

2. Lieu de l’intersection des tangentes à \(\mathscr{C}\) en \(P\) et \(Q\).

[oraux/ex9446] centrale PSI 2013 Soient \(C\) un cercle de centre \(O\), \(A\) un point fixé de \(C\), et \(M\) un point décrivant \(C\). Déterminer le lieu décrit par le centre de gravité du triangle \(OAM\).

[concours/ex0986] centrale MP 1997 Une cardioïde roule sans glisser sur une droite. Trouver la trajectoire de son point de rebroussement.

[geo.diff/ex0038] Soit la courbe \(\rho=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\over\theta}\).

On considère une droite passant par \(O\). Montrer que les tangentes à \(\Gamma\) aux points de \(\Gamma\) situés sur \(\Delta\) passent par un même point \(P\). Ensemble décrit par \(P\) lorsque \(\Delta\) varie ?

[concours/ex2040] centrale MP 1999 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon \(R\). Tracer l’ensemble \(\Gamma\) des points \(M\) tels que \(MA\cdot MB\cdot MC=R^3\).

[geo.diff/ex0033] Soit \(\Gamma\) la courbe décrite par \(M(t)\) : \(x=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\), \(y=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\) (\(a>0\)). Le but de cet exercice est de déterminer une équation polaire de l’ensemble \((R)\) des points d’où on peut mener deux tangentes à \(\Gamma\) orthogonales.

1. Trouver une équation normale de la tangente \(\Delta(t)\) en \(t\) à \(\Gamma\). Préciser modulo \(\pi\) l’angle orienté \(\alpha(t)\) entre \(Ox\) et \(\Delta(t)\). A quelle condition \(\Delta(t)\) et \(\Delta(u)\) sont-elles orthogonales ?

2. Calculer l’affixe du point d’intersection \(N(t)\) de \(\Delta(t)\) et de \(\Delta(t-\pi/2)\). En déduire une équation polaire de \((R)\). Représenter \(\Gamma\) et \((R)\).

3. On pose \(t_0=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits 2\). Montrer que les réels \(t\) tels que \(N(t)=M(t)\) se déduisent simplement de \(t_0\). Montrer qu’en un tel point, \(\Gamma\) et \((R)\) sont tangentes.

[geo.diff/ex0089]

1. Soit \(a\in\mathbf{R}_+^*\). Tracer la courbe \(C\) de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{rcl} x&=& a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\\ y&=& a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t,\end{array}\right.\] appelée astroïde.

2. Déterminer et tracer la courbe orthoptique de \(C\), c’est-à-dire l’ensemble des points d’où l’on peut mener (au moins) deux tangentes à \(C\) orthogonales.

[geo.diff/ex0142]

1. Construire \[(C)\ :\ \rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over\theta}.\]

2. Une droite \((\Delta)\) passant par \(O\) coupe \((C)\) en une infinité de points. Montrer que les tangentes à \((C)\) en ces points passent toutes par un point fixe.

[concours/ex0471] centrale MP 1996 Une cardioïde est une courbe du plan ayant pour équation polaire \[\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\] dans un certain repère orthonormé direct. Une cardioïde \(\Gamma\) roule sans glisser sur une droite \(D\). Trouver la trajectoire de son point de rebroussement.

[geo.diff/ex0144] Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\), \((C_1)\) : \(\rho=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\), \((C_2)\) : \(\rho=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\). On note \(A\) le point de \((C_1)\cap(C_2)\) tel que \(0<\theta<\displaystyle{\pi\over4}\). Sous quel angle \((C_1)\) et \((C_2)\) se coupent-elles en \(A\) ?

[concours/ex0289] mines MP 1996 On considère le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé et les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) de coordonnées respectives \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\). Étudier l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(AM.BM.CM.DM=1\).

[geo.diff/ex0490] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(r=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

[geo.diff/ex0440] Trouver les points d’intersection des courbes \(r^2=4\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\) et \(r^2=4\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\).

[oraux/ex1579] centrale PC 2006 Dans le plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec\imath,\vec\jmath)\), on considère le point \(A(a,0)\) où \(a>0\) est fixé. On considère le cercle \((C)\) centré en un point \(P\) de \(Oy\) et qui passe par \(O\). La droite \((AP)\) coupe le cercle en deux points \(M\) et \(N\).

1. Équation paramétrique de \((\Gamma)\), courbe décrite par \(M\) et \(N\) lorsque \(P\) se déplace sur \((Oy)\) ?

2. Paramétrer \((\Gamma)\) en polaires.

[oraux/ex5882] ccp PSI 2012 Un point \(P\) parcourt le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\). Déterminer la position du point de contact entre la droite \((OP)\) et le cercle inscrit dans le triangle \(OAP\), puis l’aire de la surface délimitée par ces points.

[geo.diff/ex0439] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=\sqrt2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(r^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\).

[geo.diff/ex0042] Déterminer l’ensemble des points d’où on peut mener deux tangentes orthogonales à la cardioïde d’équation \(\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\). En faire le tracé en s’aidant d’une représentation polaire avec un pôle \(O'\) judicieux.

[equadiff/ex0340] Trouver l’équation différentielle de la famille de cardioïdes : \(\rho=a(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), où \(a\) est une constante arbitraire.

[oraux/ex3668] polytechnique MP 2011 On munit \(\mathbf{R}^2\) de sa structure euclidienne canonique. Soient \(A\) et \(B\) deux points de \(\mathbf{R}^2\), \(O\in[A,B]\), \(n=OA\), \(m=OB\), \(a\in\left]0,\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{n,m\}\right[\) et \(K\) le disque fermé de centre \(O\) et de rayon \(a\). Déterminer les points \(M\) de \(K\) tels que \(\displaystyle{n^2\over AM}+{m^2\over BM}\) soit minimal.

[geo.diff/ex0437] Trouver tous les points d’intersection des courbes \(r=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\) et \(r=1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\).

[oraux/ex1687] centrale PC 2009 Soit \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho(\theta)=\displaystyle{2\over2+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\). Déterminer les axes de symétrie de la courbe.

[oraux/ex1610] mines PC 2008 Soient \(\mathscr{C}\) un cercle de centre \(O\) et \(A\in\mathscr{C}\). Si \(M\in\mathscr{C}\), soit \(P\) la projection orthogonale de \(A\) sur la tangente en \(M\) à \(\mathscr{C}\). Déterminer le lieu des points \(P\) quand \(M\) parcourt \(\mathscr{C}\).

[concours/ex1549] centrale MP 1998 Déterminer les courbes définies en polaires par \(\rho=f(\theta)\) telles que \(2V+\theta=0\) (où \(V\) désigne l’angle du vecteur tangent avec le rayon vecteur).

[geo.diff/ex0146]

1. Tracer \((C)\) : \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3\displaystyle{\theta\over3}}\).

2. Une droite \((D_\theta)\), passant par \(O\) et d’angle polaire \(\theta\), coupe \((C)\) en trois points. Montrer que les tangentes à \((C)\) en ces trois points forment un triangle équilatéral.

[equadiff/ex0536] Déterminer les trajectoires orthogonales de la famille de cardioïdes : \[\rho=C(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta).\]

[oraux/ex1665] mines MP 2009 On considère la cardioïde d’équation : \(\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\). Calculer la distance de l’origine à la normale en un point de la courbe.

[equadiff/ex0553] Trouver les trajectoires orthogonales de la famille de courbes définie par : \[\rho=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta.\]

[geo.diff/ex0438] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=4\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\) et \(r=4\sqrt3\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).

[equadiff/ex0532] L’aire du secteur délimité par un arc de courbe et les rayons vecteurs aux extrémités de l’arc est égale à la moitié de la longueur de l’arc. Trouver la courbe.

[oraux/ex1713] mines MP 2010 Étudier la courbe \(\mathscr{C}\) d’équation polaire \(\rho=a(a-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), où \(a>0\). Une droite \(\mathscr{D}\) passant par l’origine coupe \(\mathbf{C}\) en deux points \(P\) et \(Q\). On note \(I\) le milieu de \([PQ]\). Déterminer le lieu de \(I\) lorsque \(\mathscr{D}\) varie.

[equadiff/ex0554] Trouver les trajectoires orthogonales de la famille de courbes définie par : \[\rho=a(\mathop{\mathchoice{\hbox{sec}}{\hbox{sec}}{\mathrm{sec}}{\mathrm{sec}}}\nolimits\theta+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta).\]

[equadiff/ex0533] Trouver la courbe pour laquelle la portion de tangente comprise entre le point de contact et le pied de la perpendiculaire à la tangente issue du pôle est le tiers du rayon vecteur au point de contact.

[geo.diff/ex0201] On considère la famille des courbes \((\theta_k)\) ayant pour équation polaire : \[\rho^4-2a^2\rho^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta= (k^4-1)a^4,\quad\hbox{où}\quad(a,k)\in(\mathbf{R}_+^*)^2.\]

1. Quelle est l’équation cartésienne des courbes \((\theta_k)\) ?

2. Quelles sont les symétries communes à ces courbes ?

3. Montrer qu’il existe sur \((Ox)\) deux points fixes \(F\) et \(F\,'\) tels que \(MF\cdot MF\,'\) reste constant quand \(M\) décrit chacune des courbes \((\theta_k)\).

4. Préciser l’ensemble des points des courbes \(\theta_k\), où la tangente est parallèle à l’axe \(Ox\). Indiquer les points des courbes \((\theta_k)\) situés sur l’un ou l’autre axe et donner l’allure des différentes courbes de la famille.

[geo.diff/ex0031] On considère un arc \(\Gamma\) de classe \(C^1\) de la forme \(\rho=\rho(\theta)\) et on suppose que \(\rho\) et \(\rho'\) ne s’annulent pas. Au point \(M\) de paramètre \(\theta\), la tangente et la normale à \(\Gamma\) coupent respectivement l’axe \(OY\) du repère mobile aux points \(T\) et \(N\).

1. Calculer \(\overline{OT}\) et \(\overline{ON}\).

2. Déterminer les arcs tels que \(\overline{ON}\) soit constant, puis ceux tels que \(\overline{OT}\) soit constant.

[equadiff/ex0544] Trouver l’équation de la courbe pour laquelle la sous-normale polaire a pour longueur deux fois la valeur du sinus de l’angle entre le rayon vecteur et l’axe \(Ox\).

[concours/ex2914] centrale M 1994 On appelle podaire de la courbe \(\mathscr{C}\) vue de \(O\) l’ensemble des projections orthogonales de \(O\) sur les tangentes à \(\mathscr{C}\).

1. Quelle est la courbe admettant pour podaire vue de \(O\) la courbe d’équation polaire \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\) ?

2. On suppose que \(\mathscr{C}\) passe par \(O\). Étudier localement sa podaire vue de \(O\) au voisinage de \(O\) et préciser en particulier sa tangente.

[concours/ex4293] centrale M 1990 Soit \(C\) un cercle de centre \(O\) dans un plan euclidien, \(A\) un point fixe du cercle, \(P\) et \(Q\) deux points variables du cercle tels que : \[\bigl(\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}},\mathchoice{\overrightarrow{OP}}{\overrightarrow{OP}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OP}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OP}}\bigr)=2\varphi, \qquad\bigl(\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}},\mathchoice{\overrightarrow{OQ}}{\overrightarrow{OQ}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OQ}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OQ}}\bigr)=-\varphi\quad\hbox{($\varphi$ variable).}\] déterminer l’équation polaire du lieu du milieu \(M\) de \([P,Q]\). Tracé.

[geo.diff/ex0143] Pour \((a,b,n)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times(\mathbf{N}\setminus\{0,1\})\), montrer que les points d’inflexion de la courbe d’équation polaire : \[\rho={1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits n\theta+a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+b\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\] sont alignés.

[geo.diff/ex0145]

1. Tracer \((C)\) : \(\rho=-1+\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\displaystyle{\theta\over2}\).

2. Une droite variable \((D)\) passant par \(O\) coupe \((C)\) en \(M_1\) et \(M_2\). Déterminer le lieu \(I\) du milieu de \(M_1M_2\).

[equadiff/ex0546] Trouver l’équation de la courbe pour laquelle la sous-tangente est égale à la sous-normale polaire.

[oraux/ex4401] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soient \(f:r\mapsto\displaystyle{r^3-3r\over r+1}\) et \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta=f(r)\).

1. Étudier \(f\). En déduire l’intervalle « utile » pour l’étude de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(g:r\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits(f(r))\). Étudier \(g\) et tracer son graphe.

3. Donner les équations des tangentes ou demi-tangentes à \(\mathscr{C}\) aux points où \(\mathscr{C}\) coupe les axes.

4. Étudier les points doubles et tracer \(\mathscr{C}\).

[concours/ex0553] tpe, int, ivp MP 1996

1. Étudier les courbes planes telles que l’angle de la tangente avec l’axe polaire est égal à \(n\) fois l’angle polaire.

2. Représenter ces courbes pour \(n\) entier, \(1\leqslant n\leqslant 4\).

[geo.diff/ex0436] Trouver la plus grande valeur de \(y\) sur la cardioïde \(r=2(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\).

[geo.diff/ex0441] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=1\) et \(r=-1\).

[concours/ex2130] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 Soit \(Oxy\) un repère orthonormal du plan. Déterminer les arcs \(\Gamma\), \(C^1\), réguliers, tels que la symétrique de la tangente en tout point \(M\) de \(\Gamma\) par rapport à \(OM\) soit parallèle à \(Ox\).