Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5882] ccp PSI 2012 Un point \(P\) parcourt le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\). Déterminer la position du point de contact entre la droite \((OP)\) et le cercle inscrit dans le triangle \(OAP\), puis l’aire de la surface délimitée par ces points.

[concours/ex4293] centrale M 1990 Soit \(C\) un cercle de centre \(O\) dans un plan euclidien, \(A\) un point fixe du cercle, \(P\) et \(Q\) deux points variables du cercle tels que : \[\bigl(\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}},\mathchoice{\overrightarrow{OP}}{\overrightarrow{OP}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OP}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OP}}\bigr)=2\varphi, \qquad\bigl(\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}},\mathchoice{\overrightarrow{OQ}}{\overrightarrow{OQ}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OQ}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OQ}}\bigr)=-\varphi\quad\hbox{($\varphi$ variable).}\] déterminer l’équation polaire du lieu du milieu \(M\) de \([P,Q]\). Tracé.

[geo.diff/ex0143] Pour \((a,b,n)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times(\mathbf{N}\setminus\{0,1\})\), montrer que les points d’inflexion de la courbe d’équation polaire : \[\rho={1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits n\theta+a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta+b\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta}\] sont alignés.

[concours/ex2130] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 Soit \(Oxy\) un repère orthonormal du plan. Déterminer les arcs \(\Gamma\), \(C^1\), réguliers, tels que la symétrique de la tangente en tout point \(M\) de \(\Gamma\) par rapport à \(OM\) soit parallèle à \(Ox\).

[oraux/ex4401] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soient \(f:r\mapsto\displaystyle{r^3-3r\over r+1}\) et \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta=f(r)\).

1. Étudier \(f\). En déduire l’intervalle « utile » pour l’étude de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(g:r\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{arcsin}}{\hbox{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}{\mathrm{arcsin}}}\nolimits(f(r))\). Étudier \(g\) et tracer son graphe.

3. Donner les équations des tangentes ou demi-tangentes à \(\mathscr{C}\) aux points où \(\mathscr{C}\) coupe les axes.

4. Étudier les points doubles et tracer \(\mathscr{C}\).

[oraux/ex3668] polytechnique MP 2011 On munit \(\mathbf{R}^2\) de sa structure euclidienne canonique. Soient \(A\) et \(B\) deux points de \(\mathbf{R}^2\), \(O\in[A,B]\), \(n=OA\), \(m=OB\), \(a\in\left]0,\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{n,m\}\right[\) et \(K\) le disque fermé de centre \(O\) et de rayon \(a\). Déterminer les points \(M\) de \(K\) tels que \(\displaystyle{n^2\over AM}+{m^2\over BM}\) soit minimal.

[oraux/ex1579] centrale PC 2006 Dans le plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec\imath,\vec\jmath)\), on considère le point \(A(a,0)\) où \(a>0\) est fixé. On considère le cercle \((C)\) centré en un point \(P\) de \(Oy\) et qui passe par \(O\). La droite \((AP)\) coupe le cercle en deux points \(M\) et \(N\).

1. Équation paramétrique de \((\Gamma)\), courbe décrite par \(M\) et \(N\) lorsque \(P\) se déplace sur \((Oy)\) ?

2. Paramétrer \((\Gamma)\) en polaires.

[oraux/ex1713] mines MP 2010 Étudier la courbe \(\mathscr{C}\) d’équation polaire \(\rho=a(a-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), où \(a>0\). Une droite \(\mathscr{D}\) passant par l’origine coupe \(\mathbf{C}\) en deux points \(P\) et \(Q\). On note \(I\) le milieu de \([PQ]\). Déterminer le lieu de \(I\) lorsque \(\mathscr{D}\) varie.

[geo.diff/ex0146]

1. Tracer \((C)\) : \(\rho=\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3\displaystyle{\theta\over3}}\).

2. Une droite \((D_\theta)\), passant par \(O\) et d’angle polaire \(\theta\), coupe \((C)\) en trois points. Montrer que les tangentes à \((C)\) en ces trois points forment un triangle équilatéral.

[geo.diff/ex0438] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=4\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\) et \(r=4\sqrt3\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\).