Édition de feuilles d'exercices

[geo.diff/ex0280] Soit \((A,B,C)\) un triangle équilatéral du plan, soit \(O\) l’isobarycentre de ce triangle, on suppose que la distance \(OA\) est égale à \(1\), déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(MA\cdot MB\cdot MC=1\).

[geo.diff/ex0142]

1. Construire \[(C)\ :\ \rho={\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\over\theta}.\]

2. Une droite \((\Delta)\) passant par \(O\) coupe \((C)\) en une infinité de points. Montrer que les tangentes à \((C)\) en ces points passent toutes par un point fixe.

[geo.diff/ex0033] Soit \(\Gamma\) la courbe décrite par \(M(t)\) : \(x=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\), \(y=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\) (\(a>0\)). Le but de cet exercice est de déterminer une équation polaire de l’ensemble \((R)\) des points d’où on peut mener deux tangentes à \(\Gamma\) orthogonales.

1. Trouver une équation normale de la tangente \(\Delta(t)\) en \(t\) à \(\Gamma\). Préciser modulo \(\pi\) l’angle orienté \(\alpha(t)\) entre \(Ox\) et \(\Delta(t)\). A quelle condition \(\Delta(t)\) et \(\Delta(u)\) sont-elles orthogonales ?

2. Calculer l’affixe du point d’intersection \(N(t)\) de \(\Delta(t)\) et de \(\Delta(t-\pi/2)\). En déduire une équation polaire de \((R)\). Représenter \(\Gamma\) et \((R)\).

3. On pose \(t_0=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits 2\). Montrer que les réels \(t\) tels que \(N(t)=M(t)\) se déduisent simplement de \(t_0\). Montrer qu’en un tel point, \(\Gamma\) et \((R)\) sont tangentes.

[concours/ex0471] centrale MP 1996 Une cardioïde est une courbe du plan ayant pour équation polaire \[\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\] dans un certain repère orthonormé direct. Une cardioïde \(\Gamma\) roule sans glisser sur une droite \(D\). Trouver la trajectoire de son point de rebroussement.

[oraux/ex5882] ccp PSI 2012 Un point \(P\) parcourt le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\). Déterminer la position du point de contact entre la droite \((OP)\) et le cercle inscrit dans le triangle \(OAP\), puis l’aire de la surface délimitée par ces points.

[geo.diff/ex0439] Trouver les points d’intersection des courbes \(r=\sqrt2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\) et \(r^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\).

[oraux/ex1713] mines MP 2010 Étudier la courbe \(\mathscr{C}\) d’équation polaire \(\rho=a(a-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), où \(a>0\). Une droite \(\mathscr{D}\) passant par l’origine coupe \(\mathbf{C}\) en deux points \(P\) et \(Q\). On note \(I\) le milieu de \([PQ]\). Déterminer le lieu de \(I\) lorsque \(\mathscr{D}\) varie.

[oraux/ex1610] mines PC 2008 Soient \(\mathscr{C}\) un cercle de centre \(O\) et \(A\in\mathscr{C}\). Si \(M\in\mathscr{C}\), soit \(P\) la projection orthogonale de \(A\) sur la tangente en \(M\) à \(\mathscr{C}\). Déterminer le lieu des points \(P\) quand \(M\) parcourt \(\mathscr{C}\).

[geo.diff/ex0031] On considère un arc \(\Gamma\) de classe \(C^1\) de la forme \(\rho=\rho(\theta)\) et on suppose que \(\rho\) et \(\rho'\) ne s’annulent pas. Au point \(M\) de paramètre \(\theta\), la tangente et la normale à \(\Gamma\) coupent respectivement l’axe \(OY\) du repère mobile aux points \(T\) et \(N\).

1. Calculer \(\overline{OT}\) et \(\overline{ON}\).

2. Déterminer les arcs tels que \(\overline{ON}\) soit constant, puis ceux tels que \(\overline{OT}\) soit constant.

[concours/ex0289] mines MP 1996 On considère le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé et les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) de coordonnées respectives \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\). Étudier l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(AM.BM.CM.DM=1\).