Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1459] mines 2004 On note \(\Gamma\) la courbe d’équation polaire \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\).

1. Tracer \(\Gamma\).

   On note \(A\) le point de coordonnées polaires \(\rho=2\) et \(\theta=0\). Une droite variable passe par \(O\) et recoupe \(\Gamma\) en deux points \(P\) et \(Q\).

2. Déterminer le lieu du centre de gravité du triangle \(APQ\).

3. Déterminer le lieu de l’intersection des tangentes à \(\Gamma\) en \(P\) et \(Q\).

[concours/ex3786] centrale M 1992 Trouver le lieu des points d’intersection des tangentes à une cardioïde menée de deux points \(M\) et \(N\) tels que \(M\), \(O\) et \(N\) soient alignés.

[concours/ex2048] centrale MP 1999 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation \(\rho=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta\). Une droite passant par l’origine \(O\) recoupe \(\mathscr{C}\) en \(P\) et \(Q\).

1. Trouver le lieu de l’isobarycentre de \(P\), \(Q\) et \(A(2,0)\).

2. Lieu de l’intersection des tangentes à \(\mathscr{C}\) en \(P\) et \(Q\).

[concours/ex2530] centrale M 1995 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe d’équation polaire : \[\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta),\quad\hbox{avec }a>0.\]

1. Montrer que si l’on choisit une direction de droite \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\), il existe trois points \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) de \(\mathscr{C}\) en lesquels la tangente a pour direction \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\).

2. Lieu de l’isobarycentre de \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quand la direction de \(\mathchoice{\overrightarrow{D}}{\overrightarrow{D}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle D}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle D}}\) varie.

3. Montrer que l’aire du triangle \(M_1M_2M_3\) est indépendante de la direction choisie.

[geo.diff/ex0034] Soit \(\Gamma\) la cardioïde d’équation \(\rho=a(1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\), avec \(a>0\).

1. Faire une étude rapide de \(\Gamma\). On précisera l’angle \(V\) entre \(\vec u(\theta)\) et le vecteur tangent en \(\theta\).

2. Montrer que \(\Gamma\) admet trois tangentes ayant une direction donnée. Déterminer l’isobarycentre des points de contact.

3. Que peut-on dire des tangentes à \(\Gamma\) en deux points alignés avec \(O\) ? Donner des équations normales de ces deux tangentes et déterminer leur point d’intersection. Quel ensemble décrit-il ?

[geo.diff/ex0093] Tracer la courbe \(C\) suivante, appelée spirale logarithmique, définie en polaires par : \[\rho=ae^{\lambda\theta}, \quad\hbox{où}\quad (a\lambda)\in\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R}.\]

[geo.diff/ex0496] Montrer que si une courbe est telle qu’en chaque point, l’angle entre le rayon vecteur et la tangente est constant, alors c’est une spirale logarithmique \(r=ae^{c\theta}\).

[geo.diff/ex0089]

1. Soit \(a\in\mathbf{R}_+^*\). Tracer la courbe \(C\) de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{rcl} x&=& a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\\ y&=& a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t,\end{array}\right.\] appelée astroïde.

2. Déterminer et tracer la courbe orthoptique de \(C\), c’est-à-dire l’ensemble des points d’où l’on peut mener (au moins) deux tangentes à \(C\) orthogonales.

[concours/ex2040] centrale MP 1999 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon \(R\). Tracer l’ensemble \(\Gamma\) des points \(M\) tels que \(MA\cdot MB\cdot MC=R^3\).

[geo.diff/ex0033] Soit \(\Gamma\) la courbe décrite par \(M(t)\) : \(x=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\), \(y=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\) (\(a>0\)). Le but de cet exercice est de déterminer une équation polaire de l’ensemble \((R)\) des points d’où on peut mener deux tangentes à \(\Gamma\) orthogonales.

1. Trouver une équation normale de la tangente \(\Delta(t)\) en \(t\) à \(\Gamma\). Préciser modulo \(\pi\) l’angle orienté \(\alpha(t)\) entre \(Ox\) et \(\Delta(t)\). A quelle condition \(\Delta(t)\) et \(\Delta(u)\) sont-elles orthogonales ?

2. Calculer l’affixe du point d’intersection \(N(t)\) de \(\Delta(t)\) et de \(\Delta(t-\pi/2)\). En déduire une équation polaire de \((R)\). Représenter \(\Gamma\) et \((R)\).

3. On pose \(t_0=\displaystyle{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits 2\). Montrer que les réels \(t\) tels que \(N(t)=M(t)\) se déduisent simplement de \(t_0\). Montrer qu’en un tel point, \(\Gamma\) et \((R)\) sont tangentes.