[probas/ex1077] On lance plusieurs fois un dé équilibré. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de jets nécessaires pour obtenir un 6 et un 5, respectivement. Trouver :
[probas/ex1077]
\(E(X)\) ;
\(E(X/Y=1)\) ;
\(E(X/Y=5)\).
[planches/ex1921] polytechnique, espci PC 2017 Une machine produit deux types de pièces : le type \(A\) avec probabilité \(a\), le type \(B\) avec probabilité \(b=1-a\). Chaque pièce est défectueuse avec une probabilité \(p\), indépendante du type, et indépendamment d’une pièce à l’autre. La machine s’arrête dès qu’elle a produit une pièce du type \(A\).
[planches/ex1921]
Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses au moment de l’arrêt de la machine. Déterminer \(\mathbf{E}(X)\) sans déterminer complètement la loi de \(X\). Commenter.
Déterminer la loi de \(X\) et retrouver le résultat précédent.
[probas/ex1099] On lance deux dés. Soit \(X\) la valeur du premier dé et \(Y\) la somme des deux valeurs. Calculer la fonction génératrice des moments conjoints de \(X\) et \(Y\).
[probas/ex1099]
[oraux/ex6074] escp S 2014 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) admettant un moment d’ordre \(2\).
[oraux/ex6074]
Déterminer la valeur qui minimise l’application définie sur \(\mathbf{R}\) par \(x\mapsto E((X-x)^2)\), où \(E\) désigne l’opérateur espérance.
Dans la suite de l’exercice, on considère un ensemble fini \(\Omega=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) et \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)\) un espace probabilisé de support \(\Omega\).
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur cet espace. Pour tout réel \(t\), on définit l’application \(P_t~: \Omega \rightarrow \mathbf{R}\) par : \[\hbox{pour tout }A\in\mathscr{P}(\Omega),\ P_t(A)={E({\bf 1}_A\, e^{tX})\over E(e^{tX})}\] où \({\bf 1}_A\) est la fonction indicatrice de l’ensemble \(A\).
Montrer que l’on définit ainsi une probabilité sur \(\Omega\) et que pour tout \(\omega\in \Omega\) : \[P_t(\omega)={P(\omega)e^{tX(\omega)}\over E(e^{tX})}\]
Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathscr{P}(\Omega),P_t)\). Calculer \(E_t(Y)\).
Que peut-on dire de \(E_t(Y)\) si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ?
Dans cette question \(\Omega=\{0, 1, \ldots, n\}\) et \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On pose \(Y=2^X\). Calculer \(E_t(Y)\).
On revient au cas général. À l’aide de la question préliminaire, montrer que : \[E_t((X-E_t(X))^2) \leqslant{1\over4}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)- \mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\right)^2\]
[probas/ex2300] Vrai ou faux ?
[probas/ex2300]
Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables possédant une variance et si \(X\leqslant Y\), alors on a : \(\mathbf{V}(X)\leqslant\mathbf{V}(Y)\).
[planches/ex8266] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur \([[1,n]]\). Soit \(m\in[[1,n]]\). Soit \(Z\) telle que \(Z=X\) si \(Y\leqslant m\), et \(Z=Y\) sinon.
[planches/ex8266]
Déterminer la loi de \(Z\).
Calculer les espérances de \(X\), \(Y\) et \(Z\).
Pour quels entiers \(m\in[[1,n]]\) l’espérance \(\mathbf{E}(Z)\) est-elle maximale ?
[concours/ex4746] escp S 2003
[concours/ex4746]
Pour \(m\geqslant 1\), on considère une série statistique \((M_i)_{1\leqslant i\leqslant m}\) à deux variables. La première variable est notée \(Z\), la seconde \(T\) et on écrit \(M_i(z_i,t_i)\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,m\}\).
Pour les applications numériques on prend \(\overline{Z}=\overline{T}=10\), \(V(Z)=V(T)=9\) et \({\rm cov}(Z,T)=4\) et on pose \(A=\left(\begin{array}{cc}9&4\\ 4&9\end{array}\right)\).
On identifie les éléments de \(\mathbf{R}^2\) et de \({\cal M}_{2,1}(\mathbf{R})\).
Diagonaliser \(A\) dans une base orthonormale \((e_1,e_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) pour le produit scalaire usuel.
Déterminer une matrice \(P\) de \({\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}={}^tP\) et \(^tPAP\) soit diagonale.
Pour tout \((x,y)\) de \(\mathbf{R}^2\) on pose \(f(x,y)= \left(\begin{array}{cc}x&y\end{array}\right)\times A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\).
Montrer que l’application \((x,y)\mapsto \displaystyle{f(x,y)\over x^2+y^2}\) admet un minimum et un maximum sur \(E=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), extremums que l’on déterminera (on pourra travailler dans la base \((e_1,e_2)\)).
En déduire les \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbf{R}^2\) tels que \(\alpha^2+\beta^2=1\) qui donnent une série statistique \(\alpha\,Z+\beta\,T\) de variance maximale ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale. Déterminer les extremums.
Si l’on appelle \(u_1=(\alpha_1,\beta_1)\) un couple qui donne une série statistique de variance minimale, déterminer une équation de la droite passant par le point moyen de la série et dirigée par ce vecteur.
Montrer que cette droite est celle qui réalise le minimum de la somme des carrés des distances des points \(M_i\) à une droite \(\Delta\) passant par le point moyen \(\Omega(\overline Z,\overline T)\), d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\) dans le plan \(\mathbf{R}^2\) muni de sa structure euclidienne canonique (on pourra utiliser la formule \(d(M_i,\Delta)=\displaystyle{|\alpha\,z_i+\beta\,t_i+c|\over\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\) qui donne la distance d’un point \(M_i\) à la droite \(\Delta\) d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\)).
Qu’en est-il si l’on n’impose plus à la droite de passer par \(\Omega\) ?
Déterminer les \((\alpha,\beta)\) tels que \(\alpha\geqslant 0\), \(\beta\geqslant 0\) et \(\alpha+\beta=1\) pour lesquels la série statistique \(\alpha Z+\beta T\) admet une variance maximale que l’on déterminera ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale.
[concours/ex6693] escp S 2008 Un vendeur de cycles vend des pédales de bicyclette qu’il se procure chez son grossiste par boîtes de deux ; toutes les boîtes sont supposées identiques et dans chaque boîte il y a une pédale droite et une pédale gauche.
[concours/ex6693]
Lorsqu’un client demande le remplacement de ses deux pédales de vélo, le commerçant lui vend une boîte complète et lui fait payer la somme de \(2r\) euros.
Lorsqu’un client demande le remplacement d’une seule des deux pédales, le commerçant décide de ne pas obliger le client à acheter une boîte complète, mais majore le prix de la pédale dans une proportion \(\alpha\), c’est-à-dire lui fait payer la somme de \((1 + \alpha)r\) euros.
Pour la simplicité de l’étude, on suppose que l’on sait que le nombre de pédales à poser séparément pendant la durée de l’étude vaut \(2n\), où \(n\) est un entier naturel non nul. On suppose que le vendeur ne dispose au départ que de boîtes complètes et en nombre suffisant.
Soit \(p\) la probabilité qu’une demande d’un client qui ne demande qu’une pédale corresponde à une pédale droite (\(p\) n’est pas nécessairement égal à \(1/2\)) et \(X\) le nombre de boîtes nécessaires à la satisfaction de ces \(2n\) demandes. (le commerçant n’ouvre une boîte que s’il ne dispose pas d’une boîte entamée lui permettant d’accéder à la demande du client)
Quelle est la loi de \(X\) ? On précisera l’ensemble des valeurs prises par \(X\).
Montrer que \(X\) peut s’écrire : \(X=a+\left|Y-b\right|\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes qu’on précisera et \(Y\) une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.
Donner l’expression l’espérance de \(E(X)\) en fonction de \(n\) et \(p\).
Dans la suite, on prendra la valeur \(p=1/2\).
Quelle majoration \(\alpha\) le marchand de cycles doit-il appliquer au prix de chaque pédale vendue séparément pour qu’en moyenne le prix de vente des \(2n\) pédales vendues séparément soit égal au prix de vente des \(X\) boîtes nécessaires vendues \(2r\) euros chacune.
La valeur \(\alpha\) trouvée dépend de \(n\) et on la note dorénavant \(\alpha_n\). Prouver que la suite \((\alpha_n)\) est décroissante. Donner un équivalent simple de \(\alpha_n\) et la limite de \(\alpha_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
\([[\)On admettra la formule de Stirling : \(n\,!\sim\sqrt{2\pi n}\big(\displaystyle{n\over e}\big)^{n}\) \(]]\)
[probas/ex1467] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).
[probas/ex1467]
[planches/ex8157] mines MP 2022 Soient \(X\), \(Y\) deux variables indépendantes à valeurs dans \(\mathbf{N}\). On suppose que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(\mathbf{P}(Y=k)>0\), et que \(\mathbf{E}(Y)<\infty\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on définit la variable aléatoire \(Z_n\) par \(Z_n(\omega)=X(\omega)\) si \(Y(\omega)\leqslant n\) et \(Z_n(\omega)=Y(\omega)\) sinon. Montrer que la suite \(\mathbf{E}(Z_n)\) possède une valeur maximale pour au plus deux valeurs de \(n\).
[planches/ex8157]
[probas/ex1414] Un couple de variables aléatoires discrètes a pour loi : \[\mathbf{P}(X=x,Y=y)=\displaystyle{2x+y\over42}\hbox{ pour }x\in[[0,2]]\hbox{ et }y\in[[0,3]],\quad0\hbox{ ailleurs.}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X=2\).
[probas/ex1414]
[probas/ex1744] La loi conjointe d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\) est donnée par la formule : \[\mathbf{P}(X=x_i,Y=y_j)=\cases{ {1\over18}(2x_i+y_j)&si $x_i=1$, 2, $y_j=1$, 2,\cr0&sinon.\cr}\] Calculer la variance conditionnelle de \(Y\) sachant \(x_i=2\).
[probas/ex1744]
[probas/ex2052] Une pièce équilibrée est lancée trois fois. On note \(X\) la variable qui vaut 0 ou 1 suivant que face ou pile apparaisse au premier lancer, et \(Y\) est le nombre total de faces qui apparaissent. Soit \(Z=X+Y\).
[probas/ex2052]
Donner la loi de \(Z\).
Calculer \(\mathbf{E}(Z)\), et vérifier que \(\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(X)+\mathbf{E}(Y)\).
Calculer \(\mathbf{V}(X)\), \(\mathbf{V}(Y)\) et \(\mathbf{V}(Z)\), et comparer \(\mathbf{V}(Z)\) à \(\mathbf{V}(X)+\mathbf{V}(Y)\).
[concours/ex4721] escp S 2003
[concours/ex4721]
Soit \(n\in \mathbf{N}^*\) et \(x\) un réel. Calculer \(\sum\limits\limits_{k=0}^n k \displaystyle{n\choose k}x^k\) en fonction de \(n\) et \(x\).
Un boulanger possède un ensemble de pochettes surprise. Lorsqu’on en achète une on peut :
soit gagner une montre avec une probabilité de \(m\),
soit gagner un euro avec une probabilité de \(e\),
soit ne rien gagner.
Un client achète \(n\) pochettes. On désigne par \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de montres gagnées et \(E\) la variable aléatoire égale au nombre d’euros gagnés.
Déterminer la loi de \(M\).
Déterminer la loi conjointe du couple \((M,E)\).
On suppose que \(k\) pochettes ont rapporté quelque chose.
Soit \(T_k\) la variable aléatoire égale à la proportion de pochettes ayant rapporté une montre par rapport au nombre de pochettes ayant rapporté quelque chose.
Déterminer la loi de \(T_k\).
Calculer l’espérance \(E(T_k)\) en fonction de \(m\) et \(e\).
[planches/ex5507] centrale PC 2019 On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Après chaque lancer, on continue le jeu ou on s’arrête avec probabilité \(1/2\). Soit \(N\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués, \(X\) (resp. \(Y\)) la variable aléatoire égale au nombre de pile (resp. face).
[planches/ex5507]
Déterminer la loi de \(N\) ainsi que son espérance.
Montrer que \(X\) est d’espérance finie et calculer son espérance.
[probas/ex0326] Un sac contient 6 jetons numérotés de 1 à 6. On en tire successivement 3 sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à chaque tirage, associe le plus grand des numéros tirés, et \(Y\) celle qui associe le numéro intermédiaire.
[probas/ex0326]
Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\).
Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).
Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).
[oraux/ex8395] ensam PSI 2015 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), et pour \(t\in\mathbf{R}\), \(H_Z(t)=\mathbf{P}(Z\geqslant t)\).
[oraux/ex8395]
Montrer que \(H_Z(k-1)-H_Z(k)=\mathbf{P}(Z=k-1)\).
Tracer \(H_Z\) pour \(\mathbf{P}(Z=0)=1/6\), \(\mathbf{P}(Z=1)=1/3\) et \(\mathbf{P}(Z=3)=1/2\).
Si \(q\) est la valeur maximale de \(Z\), montrer par récurrence décroissante que : \[\sum\limits_{k=n}^qH_Z(k)=\sum\limits_{j=n}^qj\mathbf{P}(X=j)-(n-1)H_Z(n).\]
Si \(X\) et \(Y\) sont à valeurs dans \(\mathbf{N}\), montrer que : \(H_X\geqslant H_Y\Longrightarrow\mathbf{E}(X)\geqslant\mathbf{E}(Y)\).
[probas/ex1842] Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi binomiale de paramètres \((n,p)\) et \((m,p)\) respectivement. Soit \(Z=X+Y\) ; à l’aide de la série génératrice des moments de \(Z\), déterminer la loi de \(Z\).
[probas/ex1842]
[oraux/ex4776] escp S 2012 Une urne contient \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\) et \(k\) boules bleues non numérotées. Les boules sont tirées avec remise jusqu’à ce qu’une boule bleue soit tirée. Au cours de ces tirages, on définit le nombre \(R\) de répétitions de la manière suivante :
[oraux/ex4776]
au début, \(R =0\). Ensuite, on ajoute \(1\) à \(R\) dès que l’on obtient une boule numérotée qui avait été déjà tirée précédemment.
Déterminer les probabilités des événements suivants :
\(A_1=\) « la première boule tirée est la boule numéro \(1\) ».
\(A_2=\) « la première boule tirée est une boule portant un numéro strictement supérieur à \(1\) ».
\(A_3=\) « la première boule tirée est une boule bleue ».
On note \(A_0\) l’événement « la boule numéro \(1\) n’est jamais tirée lors du jeu ». En utilisant la formule des probabilités totales avec les événements précédents, montrer que \(P(A_0) = \displaystyle{k\over k+1}\).
On note \(X\) le nombre de fois où l’on a tiré la boule \(1\) au cours du jeu. En utilisant un raisonnement analogue à celui de la question précédente, montrer que \(E(X) = \displaystyle{1\over k}\).
On définit la variable aléatoire \(Y\) par : \[\cases{\hbox{Si $X\geqslant 1$, alors $Y=X-1$}\cr \hbox{Si $X=0$, alors $Y=0$}\cr}\] (\(Y\) est donc le nombre de répétitions de la boule numérotée \(1\).)
Montrer que \(E(Y) =\sum\limits_{m\geqslant 1} (m-1) P(X = m)\) puis que \(E(Y) = \displaystyle{1\over k(k+1)}\).
Soit \(r\) un entier naturel. On recherche la valeur minimale de \(k\) (en fonction de \(n\) et \(r\)) de manière à ce que le nombre moyen \(t\) de répétitions soit inférieur ou égal à \(r\).
Montrer que \(t = n E(Y)\).
En déduire que la valeur minimale recherchée est \(k_0 = \left\lfloor{\sqrt{\displaystyle{n\over r} + {1\over4}} - \displaystyle{1\over2}}\right\rfloor\).
[oraux/ex8341] mines PSI 2015
[oraux/ex8341]
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles telles que \(X^2\) et \(Y^2\) admettent une espérance. Montrer que \(XY\) admet une espérance.
Soient \(a\in[0,1]\) et \(X\) une variable aléatoire positive admettant une espérance. Montrer l’inégalité \((1-a)\mathbf{E}(X)\leqslant\mathbf{E}(X.\mathbf1_{X\geqslant a\mathbf{E}(X)})\).
[probas/ex1741] Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires. Montrer que : \[[E(XY)]^2\leqslant E(X^2)\,E(Y^2).\] Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Cauchy-Schwarz.
[probas/ex1741]
[probas/ex0143] On dispose d’un dé cubique normal, d’une urne \(A\) contenant 2 boules blanches et 4 noires et d’une urne \(B\) contenant 3 boules blanches et 4 rouges. Les tirages ont lieu sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre obtenu sur le dé. Si \(X\) est divisible par 3, on tire deux boules de l’urne \(A\). Sinon, on tire \(X\) boules de l’urne \(B\). Soit \(Y\) le nombre de boules blanches obtenues.
[probas/ex0143]
Déterminer la loi de \(Y\), son espérance mathématique et sa variance.
[probas/ex2320] Vrai ou faux ?
[probas/ex2320]
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires admettant une variance.
Alors \(\mathbf{V}(X-Y)=\mathbf{V}(X)-\mathbf{V}(Y)-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(X,Y)\).
[planches/ex5660] ccp PSI 2019 On considère \(2n\) lapins sélectionnés aléatoirement dans un enclos à lapins. La probabilité qu’un lapin soit mâle est \(1/2\). On note \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de lapins mâles obtenus et \(C\) la variable aléatoire égale au le nombre de couples possibles (un lapin mâle \(+\) un lapin femelle).
[planches/ex5660]
Donner la loi de \(M\).
Donner une relation entre \(C\) et \(M\).
Donner la loi de \(C\).
Calculer l’espérance de \(C\).
[probas/ex1090] Des ampoules de type \(i\) fonctionnent pendant une durée aléatoire de moyenne \(\mu_i\) et d’écart-type \(\sigma_i\), \(i=1\), 2. Une ampoule choisie au hasard dans une boîte d’ampoules est de type 1 avec une probabilité \(p\) et de type 2 avec une probabilité \(1-p\). Soit \(X\) la durée de vie de cette ampoule. Trouver \(E(X)\) et \(V(X)\).
[probas/ex1090]
[probas/ex0169] hec 1995 On considère un entier naturel \(n\) non nul, un réel \(p\) de \(\left]0,1\right[\) ; \(X\) est une variable aléatoire avec \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\).
[probas/ex0169]
Les valeurs prises par \(X\) sont affichées par un compteur défaillant ; lorsqu’il doit afficher 0, il affiche en fait au hasard un nombre compris entre 1 et \(n\) ; sinon il affiche le bon résultat.
Soit \(Y\) la variable aléatoire correspondant au numéro affiché par le compteur. Donner la loi de \(Y\) et \(E(Y)\).
[probas/ex0253] Une urne contient 7 boules rouges et 5 blanches. On choisit au hasard un nombre entier \(N\), \(1\leqslant N\leqslant 5\), puis on tire \(N\) boules de l’urne.
[probas/ex0253]
Calculer l’espérance et la variance du nombre de boules blanches obtenues :
le tirage ayant lieu avec remise ;
le tirage ayant lieu sans remise.
Sachant que l’on a obtenu 3 boules rouges, calculer \(E(N)\) :
[planches/ex7419] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. On suppose que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) avec \(p\in\left]0,1\right[\) et que \(Y\) suit la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,n\}\).
[planches/ex7419]
On définit la variable aléatoire \(Z\) par \(\forall\omega\in\Omega\), \(Z(\omega)=\cases{X(\omega)&si $X(\omega)\neq0$\cr Y(\omega)&si $X(\omega)=0$.}\)
Déterminer la loi de \(Z\) et son espérance.
[examen/ex0901] escp courts S 2021 Soit \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur \([[1,n]]\), soit \(g\) une bijection de \([[1,n]]\) sur lui-même.
[examen/ex0901]
On pose \(T=g(X)\) et \(Z=\mathbf1_{[Y\leqslant g(X)]}\).
Quelle est la loi de \(T\) ? Montrer que \(n\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(T)\).
Que dire de leurs variances ?
[probas/ex0241] Une urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\). On effectue \(N\) tirages avec remise et on note \(Z_n\) le nombre de numéros non encore sortis à l’issue du \(n\)-ième tirage.
[probas/ex0241]
Déterminer la loi de \(Z_1\).
Calculer \(E(Z_n)\).
Déterminer la probabilité d’obtenir au \(n\)-ième tirage un numéro qui n’est pas encore sorti.
[concours/ex4924] escp S 2001
[concours/ex4924]
Soient deux entiers naturels \(n\) et \(r\) avec \(0\leqslant r\leqslant n\).
On définit la fonction \(F_{r,n}\) sur \(\mathbf{R}\) par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad F_{r,n}(x)=\sum\limits\limits_{k=r}^n{k\choose r} x^k.\]
Montrer que pour tout \(x\) réel, on a \((1-x)F_{r,n}(x)\ =\ xF_{r-1,n-1}(x) - \displaystyle{n\choose r} x^{n+1}\).
Soit \(x\in\left]0,1\right[\) et \(r\in \mathbf{N}\) fixés. Donner un équivalent simple de \(\displaystyle{n\choose r}x^{n+1}\) quand \(n\) tend vers l’infini.
Montrer que pour tout \(x\) tel que \(0<x<1\) et \(r\in\mathbf{N}\) fixés, \(F_{r,n}(x)\) admet une limite lorsque \(n\) tend vers l’infini et déterminer cette limite.
On dispose de deux pièces de monnaie. La première pièce donne « Pile » avec la probabilité \(p\) et la seconde avec la probabilité \(q=1-p\). (\(p\in\left]0,1\right[\)).
on lance la première pièce jusqu’à obtenir pour la première fois « Pile ». Soit \(N\) le nombre de lancers effectués.
On lance alors \(N\) fois la seconde pièce et on note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de « Pile » obtenus durant ces \(N\) tirages.
Déterminer la loi de \(X\).
Calculer son espérance. Commenter les cas où \(p=q=1/2\) et où \(p\) est de la forme \(1/r\).
[planches/ex4748] polytechnique MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(H\) et \(K\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(R\) dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) de trace 1. Pour \((s,t)\in\mathbf{R}^2\), soit \(f(s,t)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(Re^{i(tH+sK)}\right)\).
[planches/ex4748]
On suppose que \(KH=HK\). Montrer qu’il existe deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(Y\) telles que \(\forall(s,t)\in\mathbf{R}^2\), \(f(s,t)=\mathbf{E}\left(e^{i(tX+sY)}\right)\).
En considérant \(R=\pmatrix{1&0\cr0&0}\), \(H=\pmatrix{0&1\cr1&0}\), \(K=\pmatrix{1&0\cr0&-1}\), montrer que le résultat précédent ne subsiste pas si l’on omet l’hypothèse \(HK=KH\).
On revient à la situation de la première question. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\ell_1\), … , \(\ell_n\) dans \(\mathbf{R}\), \(s_1\), … , \(s_n\), \(t_1\), … , \(t_n\) dans \(\mathbf{C}\), montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\ell_i\overline\ell_j f(s_i-s_j,t_i-t_j)\geqslant 0\).
[oraux/ex8323] polytechnique, espci PC 2015
[oraux/ex8323]
Soient \((x,y)\in(\mathbf{R}_+)^2\) et \((p,q)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que \(1/p+1/q=1\). Montrer : \[x^{1/p}y^{1/q}\leqslant{x\over p}+{y\over q}.\]
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires positives. Montrer : \[\mathbf{E}(XY)\leqslant\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\mathbf{E}(Y^q)^{1/q}.\]
[planches/ex4055] ccp MP 2018 Soient \(n\in\mathbf{N}\), \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\{1,\ldots,n+1\}\) telles que, pour tout \((i,j)\in\{1,\ldots,n+1\}^2\), \(\mathbf{P}(X=i,Y=j)=a_{i,j}=\lambda\displaystyle{n\choose i-1}{n\choose j-1}\), où \(\lambda\in\mathbf{R}_+^*\).
[planches/ex4055]
Montrer que \(\lambda=\displaystyle{1\over4^n}\).
Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Trouver à l’aide de la variable aléatoire \(X-1\) l’espérance et la variance de \(X\).
On note \(B=(b_{i,j})_{(i,j)\in[[1,n+1]]^2}\in\mathscr{M}_{n+1}(\mathbf{R})\) avec \(b_{i,j}=\mathbf{P}(Y=i|X=j)\).
Calculer \(B^2\) .
Déterminer les valeurs propres de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ? Déterminer la dimension des sous-espaces propres associés.
[oraux/ex8696] ensam PSI 2016 Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(q=1-p\) et \(Y=|X_1-X_2|\).
[oraux/ex8696]
Calculer \(\mathbf{P}(Y=0)\). Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer que \(\mathbf{P}(X_1-X_2=n)=\displaystyle{pq^n\over1+q}\). En déduire la loi de \(Y\).
Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.
Montrer que \(\mathbf{E}((X_1-X_2)^2)=2\mathbf{V}(X_1)\). En déduire que \(Y\) admet une variance et la calculer.
[concours/ex4638] escp S 2004
[concours/ex4638]
Compléter les lignes de programme suivantes pour en faire un programme complet :
randomize; N:=random(m)+1;X:=0; For i:=1 to N Do X:=X+random(2); Writeln(N,’ ’,X);
randomize;
N:=random(m)+1;X:=0;
For i:=1 to N Do X:=X+random(2);
Writeln(N,’ ’,X);
(on rappelle que lorsque \(a\) est un integer, random(a) renvoie une valeur integer au hasard comprise entre 0 et \(a-1\), et que la procédure randomize permet d’initialiser la fonction random.)
integer
random(a)
randomize
random
On suppose que la première valeur affichée est \(4\). Quelles sont les valeurs possibles pour la seconde valeur affichée ?
On suppose que le programme précédent simule une expérience aléatoire. Quelle est alors la loi suivie par la variable aléatoire simulée par \(N\), son espérance, sa variance ?
Préciser \(X(\Omega)\) et calculer, pour tout couple \((i,k)\), \(P(X=i/N=k)\). En déduire la loi de \(X\).
Déterminer l’espérance de \(X\).
[concours/ex4916] escp S 2001 Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une boîte contient \((2n+1)\) jetons bicolores (une face est blanche, l’autre est noire). Les jetons sont numérotés de \(1\) à \(2n+1\) sur leur face blanche, les faces noires ne portant pas de numéro.
[concours/ex4916]
On lance simultanément tous les jetons et on observe leurs faces supérieures.
Une et une seulement des deux couleurs apparaît un nombre impair de fois. Soit \(X\) la variable aléatoire associée à ce nombre.
Calculer son espérance et sa variance.
Suite au lancer, on ramasse les jetons de la couleur apparaissant un nombre impair de fois et on note les numéros de leur face blanche. Soit \(Y\) la variable aléatoire représentant le plus petit de ces nombres.
Soit \(k\in[[0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y\), conditionnée par l’événement \((X=2k+1)\).
En déduire la loi de \(Y\). Calculer son espérance.
[planches/ex8260] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre \(p\).
[planches/ex8260]
Déterminer la loi de la variable \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) ; préciser son espérance et sa fonction génératrice.
Montrer que la variable \(\displaystyle{1\over T(T+1)}\) admet une espérance finie puis la calculer.
[planches/ex2834] ccp PC 2017 Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On pose \(q=1-p\). On considère une variable aléatoire \(X\), à valeurs dans \(\mathbf{N}\), suivant la loi géométrique de paramètre \(p\).
[planches/ex2834]
Quelle est la loi de \(X+1\) ?
Soit \(Y\) une variable aléatoire suivant elle aussi la loi géométrique de paramètre \(p\) et indépendante de \(X\). On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).
Montrer que \(\mathbf{P}(X\geqslant n)=q^n\). En déduire \(\mathbf{P}(Z\geqslant n)\), puis la loi de \(Z\) et son espérance.
Soit \(r\in\left]0,1\right[\). On tire à pile ou face avec la probabilité \(r\) de tirer pile. On note \(T\) la variable aléatoire « nombre de faces avant le premier pile » et, pour chaque \(i\geqslant 1\), \(E_i\) l’événement « tirer face au \(i\)-ième lancer ».
Exprimer \(T=k\) à l’aide des \(E_i\) et en déduire \(\mathbf{P}(T=k)\), ainsi que \(\mathbf{E}(T)\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans \(\mathbf{N}\) suivant la même loi. On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\). On note, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(p_k=\mathbf{P}(X=k)\).
Calculer \(\mathbf{P}(Z=i,|X-Y|=k)\), puis \(\mathbf{P}(|X-Y|=k)\).
[planches/ex4225] escp S 2018
[planches/ex4225]
On rappelle les résultats suivants :
Soit \(I\) un ensemble dénombrable infini indexé par \(\mathbf{N}\) sous la forme \(I=\{\phi(n),\ n\in\mathbf{N}\}\), où \(\phi\) est une bijection de \(\mathbf{N}\) dans \(I\). Si la série \(\displaystyle\sum\limits u_{\phi(n)}\) converge absolument, alors sa somme est indépendante de l’indexation \(\phi\), et pourra également être notée \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\). On dit alors que la série \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) converge absolument.
Dans ce cas, si \(\displaystyle I=\bigsqcup_{j\in J}I_j\) (union disjointe) avec \(J\) un ensemble dénombrable et \(I_j\) des ensembles dénombrables pour tout \(j\), alors pour tout \(j\), \(\displaystyle\sum\limits_{k\in I_j}u_k\) converge absolument, et \[\sum\limits_{i\in I}u_i=\sum\limits_{j\in J}\left[\sum\limits_{k\in I_j}u_k\right].\]
Si \(I\) et \(J\) sont des ensembles dénombrables et si \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\in J}v_j\) sont absolument convergentes, alors \(\displaystyle\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\) aussi, et \[\left(\sum\limits_{i\in I}u_i\right)\left(\sum\limits_{j\in J}v_j\right)=\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\]
On prendra soin de justifier clairement, à l’aide de ces résultats, les calculs de sommes de séries qu’on sera amené à faire ci-dessous.
Soit \(p\) et \(q\) deux réels de l’intervalle \(\left]0,1\right[\).
Vérifier que : \(\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2\), \(\mathbf{P}[(i,j)]=p\,q\,(1-p)^i\,(1-q)^j\) définit bien une probabilité \(\mathbf{P}\) sur \(\mathbf{N}^2\).
Déterminer les lois des variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\) définies sur \(\left(\vphantom{|_|}\smash{\mathbf{N}^2,\mathscr{P}(\mathbf{N}^2),\mathbf{P}}\right)\) par \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad X(i,j)=i\quad\hbox{et}\quad Y(i,j)=j\] et les relier à des lois connues.
Calculer \(\mathbf{P}(X=Y)\) et \(\mathbf{P}(X>Y)\).
Soit \(Z\) la variable aléatoire discrète définie par : \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad Z(i,j)=\cases{\phantom{-}1&si $i$ et $j$ sont pairs,\cr-1&si $i$ et $j$ sont impairs,\cr\phantom{-}0&si $i$ et $j$ sont de parités différentes.}\] Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.
Soit \(D\) l’ensemble défini par \(D=\left\{\vphantom{|_|}(i,i),\ i\in\mathbf{N}\right\}\). Justifier que la série \(\displaystyle\sum\limits_{(i,i)\in D}Z(i,i)\,\mathbf{P}(i,i)\) est absolument convergente et calculer sa somme.
[probas/ex1470] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer la variance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).
[probas/ex1470]
[concours/ex9106] hec E 2010 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), qui suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(n,p)\), avec \(n\geqslant 2\) et \(0<p<1\).
[concours/ex9106]
On définit sur \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\) une variable aléatoire \(Y\) de la façon suivante :
pour tout \(k\) de \([[1,n]]\), la réalisation de l’événement \([X=k]\) entraîne celle de l’événement \([Y=k]\) ;
la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X=0]\) est la loi uniforme sur \([[1,n]]\).
Question de cours : Le modèle binomial.
Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).
Calculer l’espérance \(\mathbf{E}(Y)\) de \(Y\).
Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).
Calculer l’espérance, notée \(\mathbf{E}(Y/X\neq0)\), de la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).
[probas/ex0010] Soit \((X,Y)\) un couple de V.A.R. à valeurs dans \(\mathbf{N}^2\) tel que : \[\forall(j,k)\in\mathbf{N}^2,\quad P([X=j]\cap[Y=k])={j+k\over e\cdot2^{j+k}j\,!\,k\,!}.\]
[probas/ex0010]
Vérifier que l’on a bien défini ainsi la loi de probabilité de \((X,Y)\).
Calculer \(E(2^{X+Y})\).
[concours/ex4849] escp S 2002 On considère les lancers successifs (indépendants) d’une pièce non pipée et on note \(T\) le nombre de Face précédant le premier Pile. On propose à un joueur la suite de paris suivante :
[concours/ex4849]
Pari \(P_0\): si \(T=0\), on perd \(1\) Euro; si \(T=1\), on gagne \(3\) Euros; sinon on ne gagne ni ne perd rien;
Pari \(P_1\): si \(T=1\), on perd \(4\) Euros; si \(T=2\), on gagne \(9\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;
Pari \(P_2\): si \(T=2\), on perd \(10\) Euros ; si \(T=3\), on gagne \(27\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;
Pari \(P_n\): si \(T=n\), on perd \(3^n+1\) Euros; si \(T=n+1\), on gagne \(3^{n+1}\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;
Chaque pari est-il favorable au joueur ?
Calculer l’espérance du gain \(\Gamma\) si le joueur parie sur la suite de tous les résultats.
[probas/ex2282] Vrai ou faux ?
[probas/ex2282]
Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires possédant une espérance, alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\) possèdent également une espérance.
[probas/ex2054] On effectue un tirage avec remise de deux nombres entre 1 et 5. Soit \(X=0\) si le premier nombre tiré est pair et \(X=1\) sinon ; et \(Y=1\) si le deuxième nombre est impair et \(Y=0\) sinon. On pose \(Z=X+Y\).
[probas/ex2054]
[concours/ex4955] escp B/L 2001 On considère une entreprise de \(400\) salariés. La moyenne et l’écart-type du salaire mensuel de tout le personnel sont respectivement \(\overline{x} = 10000\) F et \(\sigma (x) = 2000\) F. Le salaire le plus bas est \(6000\) F et le salaire le plus élevé est \(30000\) F.
[concours/ex4955]
À la suite d’une grève, des négociations salariales s’ouvrent. à l’issue de celles-ci, le salaire de chaque salarié sera majoré en appliquant la formule générale suivante : \(y_i = a x_i + b\), où :
le nombre \(x_i\) représente le salaire du salarié \(i\) avant l’augmentation,
le nombre \(y_i\) représente le salaire du salarié \(i\) après l’augmentation,
les coefficients \(a\) et \(b\) sont à déterminer.
Trois propositions sont sur la table des négociations :
augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type.
augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion relative des salaires mesurée par le coefficient de variation \(C V =\displaystyle{\hbox{écart-type} \over {\rm moyenne}}\).
réduire de \(2 \%\) la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type tout en augmentant la masse salariale d’un montant tel qu’aucun salaire ne diminue.
Calculer la masse salariale et le coefficient de variation des salaires avant l’augmentation.
Pour chacune des trois propositions en présence :
Calculer les paramètres \(a\) et \(b\) à utiliser. (Pour \({\rm P}_3\) on prendra la plus petite valeur de \(b\) vérifiant toutes les conditions).
Calculer la moyenne du nouveau salaire mensuel.
Autour de la table de négociations, on trouve trois groupes : des représentants de la direction, des représentants des cadres et des représentants des salariés non cadres, chaque groupe ayant formulé une des trois propositions.
Calculer, en pourcentage, l’augmentation de la masse salariale correspondant à la proposition \({\rm P}_3\).
Donner l’allure de la représentation graphique, dans un même repère, du nouveau salaire \(y\) en fonction de l’ancien \(x\) pour chacune des propositions. On s’intéressera uniquement à la position relative de ces droites.
Identifier, en utilisant les résultats précédents, de quel groupe émane chacune des propositions.
[probas/ex0008] Dans un casino, un croupier mélange trois cartes : As de cœur, Roi de cœur, Valet de pique et les présente face cachée sur une table. Un joueur choisit l’une de ces trois cartes au hasard. Si c’est un cœur, il gagne 1€ si c’est l’As, 2€ si c’est le Roi et le jeu recommence. Si c’est le Valet de pique, le jeu s’arrête.
[probas/ex0008]
On note \(N\) le nombre de cartes tirées avant l’apparition du Valet de pique et \(S\) la somme gagnée (en €).
Déterminer la loi de \(N\). Quelle est la probabilité que le Valet de pique ne soit jamais tiré ?
Déterminer la loi de \(S\) sachant \([N=n]\).
Quel prix minimum le casino soit-il faire payer une partie pour ne pas être perdant en moyenne ?
[probas/ex2316] Vrai ou faux ?
[probas/ex2316]
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires ayant même loi et admettant une variance. Alors \(\mathbf{E}(XY)=\mathbf{E}(X^2)\).
[oraux/ex6083] escp S 2014 On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) telle que \[X(\Omega)=\mathbf{N} \hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)={a^k\over(1+a)^{k+1}},\] où \(a>0\) est fixé.
[oraux/ex6083]
Vérifier que l’on a bien défini une loi de probabilité.
Dans toute la suite, on désigne par \(Y\) une variable aléatoire indépendante de \(X\), définie sur le même espace probabilisé, et suivant la même loi que \(X\).
On considère la variable aléatoire \(Z=X+Y\).
Trouver l’espérance de la variable aléatoire \(S=\displaystyle{1\over1+Z}\).
Déterminer \(E\left(\displaystyle{X\over1+Z}\right)\).
On considère maintenant la variable aléatoire \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits(X,Y)\), définie par :
pour tout \(\omega \in \Omega\), \(T(\omega) =\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X(\omega), Y(\omega))\).
Déterminer \(P(X\leqslant n)\) pour tout \(n \in \mathbf{N}\).
Prouver que la loi de \(T\) est donnée par \(T(\Omega)=\mathbf{N}\) et : \[\forall m\in\mathbf{N},\ P(T=m)={1+2a\over(1+a)^2}\left({a\over1+a}\right)^{\!2m}.\]
Vous pouvez choisir l'ordre d'affichage initial des résultats d'une requête