[probas/ex1057] Combien de fois vous attendez-vous à lancer un dé équilibré avant que chacune des six faces soit apparue au moins une fois ?
[probas/ex1057]
[planches/ex4022] centrale PC 2018 Une urne contient une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules blanches, les autres boules étant noires. On effectue des tirages avec remise. Soient \(X\) la variable aléatoire donnant la longueur de la première série de boules d’une même couleur, \(Y\) la variable aléatoire donnant la longueur de la deuxième série de boules de la même couleur.
[planches/ex4022]
Donner la loi de \((X,Y)\).
Déterminer la loi de \(X\), son espérance et sa variance.
Déterminer la loi de \(Y\), son espérance et sa variance.
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Déterminer la loi de \(X+Y\).
[oraux/ex8349] mines PC 2015 On considère une urne ayant une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules noires et \(q=1-p\) de boules blanches. On effectue des tirages avec remise. On note \(N_k\) l’événement « tirer une boule noire au \(k\)-ième tirage » et \(B_k\) l’événement « tirer une boule blanche au \(k\)-ième tirage ». On note \(X\) la longueur de la première série de tirages de boules de même couleur et \(Y\) la longueur de la deuxième série. Par exemple, \((X=1)\cap(Y=2)\) est réalisé par l’événement \(N_1\cap B_2\cap B_3\cap N_4\) ou \(B_1\cap N_2\cap N_3\cap B_4\).
[oraux/ex8349]
Donner la loi conjointe du couple \((X,Y)\).
Trouver la loi de \(X\), l’espérance de \(X\) et montrer que \(\mathbf{E}(X)\geqslant 2\).
Trouver la loi et l’espérance de \(Y\).
[planches/ex3699] mines PSI 2018 Une urne contient une proportion \(p\) de boules blanches et \(1-p\) de boules noires. On effectue des tirages avec remise. On note \(X\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement au départ, et \(Y\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement lors de la seconde série. Par exemple, si on obtient \(B\), \(B\), \(B\), \(N\), \(N\), \(B\), … alors \(X=3\) et \(Y=2\).
[planches/ex3699]
Donner la loi conjointe de \((X,Y)\).
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X\).
Même question avec \(Y\).
[examen/ex0791] imt PSI 2023 On considère une urne comportant une proportion \(p\) de boules blanches et \(q=1-p\) de boules noires. On effectue des tirages dans cette urne avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de boules successives de la même couleur lors d’une première série de lancers et \(Y\) la variable aléatoire qui compte le nombre de boules successives de la même couleur lors de la deuxième série de lancers. Si l’on obtient indéfiniment la même couleur, on notera \(X=+\infty\).
[examen/ex0791]
Exemple : BBBNNNNNB donne \(X=3\) et \(Y=5\).
Énoncer le théorème de continuité croissante.
En déduire que les événements \((X=+\infty)\) et \((Y=0)\) sont négligeables.
Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).
[planches/ex2791] ensam PSI 2017
[planches/ex2791]
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\), trouver une relation entre \(\mathbf{P}(X>k-1)\), \(\mathbf{P}(X>k)\) et \(\mathbf{P}(X=k)\).
En déduire l’égalité \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathbf{P}(X=k)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\mathbf{P}(X>k)-n\mathbf{P}(X>n)\).
On suppose que \(X\) admet une espérance. Montrer que la série de terme général \(\mathbf{P}(X>k)\) converge et que \(n\mathbf{P}(X>n)\) tend vers 0.
Réciproquement, on suppose que la série de terme général \(\mathbf{P}(X>k)\) converge. Montrer que \(X\) admet une espérance.
Application. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\) respectivement. Soit \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\).
Calculer \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathbf{P}(X>k)\).
Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.
[planches/ex5015] mines MP 2019 Soient \(p\in\left]0,1\right[\), \((X_k)_{k\geqslant 1}\) une suite i.i.d. de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre \(p\). On pose \(L_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{k\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_1=X_2=\cdots=X_k\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon.
[planches/ex5015]
Montrer que \(L_1\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.
Si \(L_1<+\infty\), soit \(L_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\ell\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_{L_1+1}=X_{L_1+2}=\cdots=X_{L_1+\ell}\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon. Montrer que \(L_2\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.
[examen/ex0018] mines MP 2023 Soient \(X_1\), \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). On pose \(Y=|X_1-X_2|\).
[examen/ex0018]
Calculer \(\mathbf{P}(Y=0)\).
Déterminer la loi de \(Y\).
Montrer que \(Y\) est d’espérance finie et calculer \(\mathbf{E}(Y)\).
Montrer que \(Y\) possède un moment d’ordre 2 et calculer \(\mathbf{V}(Y)\).
[examen/ex0391] mines PC 2023 Soient \(X\) ,\(Y\) deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans \(\mathbf{R}^{+*}\), indépendantes et identiquement distribuées. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\). À quelle condition a-t-on égalité ?
[examen/ex0391]
[planches/ex6848] mines MP 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes, de même loi, à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\).
[planches/ex6848]
[examen/ex0030] mines MP 2023 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de même loi et d’espérance finie. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\).
[examen/ex0030]
Indication : Commencer par le cas où \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
[oraux/ex4644] escp courts 2011 Soit \(N\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) ; pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on note \(p_n = P(N=n)\).
[oraux/ex4644]
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur le même univers \(\Omega\) et telle que, pour tout \(n \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \([N=n]\) est la loi uniforme sur \(\{ 0,1, \ldots, n \}\).
Comparer la loi de \(X\) et celle de \(N-X\).
Si \(N\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), calculer \(E(X)\).
[concours/ex4627] escp S 2004 Soient \(N\) et \(X\) deux variables aléatoires discrètes définies sur le même univers \(\Omega\), telles que \(N(\Omega) \subset \mathbf{N}\), et que pour \(k \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N=k)\) est la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,k \}\).
[concours/ex4627]
On note, pour \(k \in \mathbf{N}\) , \(p_k = P(N=k)\).
Déterminer la loi du couple \((X,N)\) en fonction de la loi de \(N\).
Donner, sous la forme d’une somme faisant intervenir les \(p_k\), la probabilité \(P(X=i)\), pour \(i \in \mathbf{N}\).
Montrer que \((N-X)(\Omega) \subset \mathbf{N}\) et que \(N-X\) suit la même loi que \(X\).
On suppose dans cette question qu’il existe \(n \geqslant 2\) vérifiant \(\forall k \geqslant n+1\), \(p_k = 0\) et \(\forall k \leqslant n\), \(p_k >0\).
Justifier l’existence des espérances et variances de \(N\) et de \(X\) et de la covariance de \(N\) et \(X\).
Trouver une relation entre \(E(N)\) et \(E(X)\), puis entre \(V(N)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,X)\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,N-2X)\). Les variables \(N\) et \(N-2X\) sont-elles indépendantes ?
On suppose dans cette question que \(p_0 = p_1 = 0\) et \(\forall k \geqslant 2\), \(p_k = {1\over k(k-1)}\).
Déterminer explicitement la loi du couple \((X,N)\) et la loi de \(X\).
Les variables \(X\) et \(N\) admettent-elles une espérance ?
Montrer que les espérances \(E\left(\displaystyle{1\over X+1}\right)\) et \(E\left(\displaystyle{1\over N+1} \right)\) existent et les calculer.
[planches/ex2163] mines MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbf{N}^*\) telles que \(X\leqslant Y\), pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on ait \(\mathbf{P}(Y=n)>0\) et que \(X\) suive la loi uniforme pour la probabilité conditionnelle à \(\{Y=n\}\).
[planches/ex2163]
Que peut-on dire des lois de \(X\) et \(Y-X+1\) ?
Montrer que si \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), alors \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes.
Montrer que si \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes, alors \(X\) suit une loi géométrique.
On suppose \(Y\) d’espérance finie. Montrer que \(X\) est d’espérance finie et exprimer \(\mathbf{E}(X)\) en fonction de \(\mathbf{E}(Y)\).
[oraux/ex6106] escp B/L 2014
[oraux/ex6106]
Soit \(N\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\), à valeurs dans \(\mathbf{N}\) ; pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on note \(p_n = P(N=n)\).
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur le même espace et telle que, pour tout \(n \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N=n)\) est la loi uniforme sur \([[0,n]]\).
Déterminer la loi de \(X\).
Déterminer la loi de \(N-X\).
Dans cette question, on suppose que pour tout \(n\in \mathbf{N}\), on a \(p_n=\displaystyle {2\over(n+2)\,(n+3)}\).
Déterminer trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \[\forall n \in \mathbf{N},\ {2\over(n+1)\,(n+2)\,(n+3)} ={a\over n+1} +{b\over n+2} + {c\over n+3}\]
Les variables \(X\) et \(Y = 1/(X+3)\) admettent-elles une espérance ? La calculer le cas échéant.
Dans un casino, une machine propose le jeu suivant : dans un premier temps, la machine tire au hasard, avec remise, une carte dans un jeu comportant une proportion \(1-q=p \in \left] 0,1\right[\) d’As. On suppose les tirages indépendants. La machine (qui mémorise les cartes tirées) s’arrête à la première apparition d’un As.
Ensuite, la machine ajoute aux cartes déjà tirées un joker, puis choisit au hasard une carte parmi celles-ci. Si elle tire le joker, on ne gagne rien. Sinon, on gagne une somme \(S\) égale au rang de sortie de la carte tirée (par exemple, si les tirages ont été successivement \(3\) \(\heartsuit\), \(9\) \(\spadesuit\,\), R \(\clubsuit\,\), A \(\heartsuit\) et que le résultat du jeu est R \(\clubsuit\) (3-ième carte tirée), on gagne \(3\) Euros.)
Quel est le prix minimum de la partie pour que le casino espère gagner de l’argent ? Que vaut ce prix pour un jeu classique de 52 cartes comportant quatre As ?
[planches/ex8487] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On se donne deux variables aléatoires indépendantes \(X_n\), \(Y_n\) suivant la loi uniforme sur \(\mathbf{U}_n\).
[planches/ex8487]
Calculer l’espérance \(E_n\) et la variance \(V_n\) de \(Z_n=|X_n-Y_n|\).
Déterminer la limite de chaque suite \((E_n)\) et \((V_n)\).
[planches/ex2689] ensea MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \([[0,n]]\) telles que, pour tout \(k\in[[0,n]]\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(\{Y=k\}\) est la loi uniforme sur \([[0,k]]\). Déterminer la loi de \((X,Y)\) puis la loi de \(X\), en fonction de celle de \(Y\). Calculer l’espérance de \(X\) en fonction de celle de \(Y\).
[planches/ex2689]
[probas/ex1040] Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes, ayant autant de chances l’une et l’autre de prendre n’importe quelle valeur parmi 1, 2, … , \(m\). Montrer que : \[E(|X-Y|)={(m-1)(m+1)\over3m}.\]
[probas/ex1040]
[oraux/ex6097] escp B/L 2014 Soient \(p\) et \(q\) deux réels tels que \(p\in\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).
[oraux/ex6097]
On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{B},P)\), dont la loi de probabilité est donnée par : \[X(\Omega)=\mathbf{N}\hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)=p\,q^k.\]
Montrer que \(X\) admet une espérance et une variance et les calculer.
On définit une nouvelle variable aléatoire en posant \(Y =\displaystyle{1\over X+1}\).
Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).
Soit \(n\in \mathbf{N}\) et soit \(x\in\left[0,1\right[\). Rappeler la valeur de la somme \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n x^i.\)
En déduire que \(\forall n \in \mathbf{N}\), \(\forall t \in\left[0,1\right[\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1}{t^k\over k} =-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)-\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over1-x}\,dx\).
Prouver la convergence et calculer la somme de la série \(\displaystyle\sum\limits_{k\geqslant 1}{t^k\over k}\).
Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.
Soit \(Z\) une variable aléatoire réelle discrète telle que \(Z(\Omega)=\mathbf{N}\) et telle que pour tout \(k \in \mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) sachant que \((X=k)\) est réalisé est la loi uniforme sur \([[0,k]]\).
Pour tout \(n\in N\), exprimer \(P(Z=n)\) sous la forme d’une somme.
Montrer que \(Z\) admet une espérance que l’on notera \(E(Z)\).
Calculer \(E(Z)\) (on admettra qu’il est possible de permuter l’ordre des sommations à effectuer).
[oraux/ex8482] mines MP 2016 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On considère \(n\) urnes \(U_1\), … , \(U_n\). Pour \(k=1\), … , \(n\), l’urne \(U_k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit en toute indépendance et uniformité, une urne, puis une boule dans cette urne. La variable aléatoire \(X\) indique le numéro de l’urne choisie, la variable aléatoire \(Y\) le numéro de la boule.
[oraux/ex8482]
Calculer l’espérance de \(Y\).
[probas/ex0334] On dispose de 5 urnes numérotées de 1 à 5.
[probas/ex0334]
L’urne numéro \(k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne. On définit les deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) par : \(X\) est le numéro de l’urne choisie, \(Y\) est le numéro de la boule tirée.
Déterminer la loi du couple \((X,Y)\) ; en déduire les lois de probabilité de \(X\) et de \(Y\).
Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).
[planches/ex3594] mines MP 2018
[planches/ex3594]
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). Calculer \(\mathbf{E}(1/X)\).
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\). Calculer \(\displaystyle\mathbf{E}\left({1\over1+X}\right)\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\). Déterminer \(\mathbf{E}(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\})\).
[oraux/ex8523] mines PC 2016 Soient \(X_n\) et \(Y_n\) deux variables aléatoires suivant des lois uniformes sur \([[1,n]]\) et indépendantes. On pose \(Z_n=|X_n-Y_n|\) et \(T_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_n,Y_n)\). Calculer \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\). Déterminer des équivalents de \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex8523]
[oraux/ex8547] centrale PSI 2016 (avec Python)
[oraux/ex8547]
Python
Deux amis se sont donné rendz-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires suivant la loi uniforme sur \([[0,59]]\).
À quoi correspond la variable \(T=|X-Y|\) ?
Donner la loi de \(T\).
Écrire une fonction rdv(n) qui renvoie les résultats de \(n\) simulations de \(T\).
rdv(n)
Calculer l’espérance exacte de \(T\).
Donner une approximation de l’espérance avec Python. Commenter l’écart.
On pose \(n=10^5\). Écrire un programme qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide du programme rdv(n). Commenter les écarts.
[planches/ex2585] centrale PSI 2017 Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On se donne une pièce qui tombe sur pile avec la probabilité \(p\). On la lance jusqu’à obtenir deux fois pile et on note \(X\) le nombre de faces obtenues.
[planches/ex2585]
Donner la loi de \(X\).
Montrer l’existence et donner la valeur de l’espérance de \(X\).
Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne. On pioche une boule au hasard et \(Y\) désigne le numéro de la boule piochée. Donner la loi de \(Y\) et son espérance.
[probas/ex0007] On jette une pièce de monnaie jusqu’à ce qu’on obtienne pile pour la deuxième fois. On suppose qu’à chaque lancer de la pièce, la probabilité d’obtenir pile est \(p\), \(p\in\left]0,1\right[\).
[probas/ex0007]
On note \(X\) le nombre de faces obtenues avant d’obtenir pile pour la deuxième fois.
Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne et on tire au hasard l’une de ces boules. On note alors \(Y\) le numéro de la boule tirée.
Quelle est la loi de \(X\) ? \(X\) admet-elle une espérance ? Si oui la calculer.
\(Y\) admet-elle une espérance ? La calculer.
[planches/ex8261] mines PSI 2022 Soient \(X\), \(Y\) des variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). On pose \(M=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex8261]
Justifier que \(M\) est une variable aléatoire.
Déterminer la loi de \(M\).
Déterminer l’espérance et la variance de \(M\) en utilisant \(m=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex7834] polytechnique PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(U=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(V=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex7834]
Trouver les lois de \(U\) et \(V\).
Trouver la loi de \((U,V)\).
Trouver la loi de \(U+V\) et son espérance.
[planches/ex8634] centrale PSI 2022 (avec Python)
[planches/ex8634]
Deux amis se sont donné rendez-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur \(\{0,\ldots,59\}\).
Calculer la valeur exacte de l’espérance de \(T\).
On pose \(n=10^5\). Donner une fonction qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide de la fonction rdv. Commenter les écarts.
rdv
On découpe une heure en \(N\) divisions de temps. Donner un équivalent de la probabilité que les amis arrivent en même temps lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\).
[planches/ex6847] mines MP 2021 Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). Calculer les espérances de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_1,X_2)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X_1,X_2)\).
[planches/ex6847]
[oraux/ex6078] escp S 2014 Toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\).
[oraux/ex6078]
Soit \(N\in\mathbf{N}^*\).
Le programme d’un examen est constitué de \(N\) questions dont \(n\) (différentes) sont tirées au hasard pour constituer l’épreuve. Chacune de ces \(n\) questions fait l’objet d’un questionnaire à choix multiples (QCM) ; chaque question comporte 4 réponses dont une seule est juste ; donner une réponse juste rapporte \(1\) point et une réponse fausse rapporte \(0\) point.
Un candidat donné connaît une proportion \(p\) des réponses aux questions du programme ; on note \(X\) le nombre de questions de l’examen dont le candidat connaît la réponse et auxquelles il répondra donc correctement ; pour les autres questions, le candidat « tentera sa chance » en donnant une réponse au hasard à la question posée. On note \(Y\) la note de ce candidat.
Déterminer la loi de \(X\) et donner son espérance.
Pour \(n\) et \(p\) fixés, par quelle loi peut-on approcher celle de \(X\) lorsque \(N\) tend vers l’infini ?
Donner la variance de cette loi approchée. Dans la suite, on utilisera cette approximation pour évaluer \(V(X)\).
Pour tout \(k\in[[ 0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y-X\) sachant que \((X=k)\) est réalisé, préciser son espérance \(E(Y-X|X=k)\) et sa variance \(V(Y-X|X=k)\).
Déterminer l’espérance de \(Y\).
Pour tout \(k\in [[0,n ]]\), montrer que :
\(E((Y-E(Y))^2|X=k)=E((Y-E(Y|X=k))^2|X=k)+(E(Y|X=k)-E(Y))^2\).
En déduire que la variance de \(Y\) vaut : \(V(Y)=\displaystyle{n(1-p)\over16}(3+9p)\).
[planches/ex7417] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres respectifs \(p_1\in\left]0,1\right[\) et \(p_2\in\left]0,1\right[\).
[planches/ex7417]
Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).
Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[concours/ex4727] escp S 2003 On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées portant des numéros deux à deux distincts.
[concours/ex4727]
Un premier joueur effectue dans l’urne des tirages sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro. On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.
S’il reste des boules dans l’urne, un deuxième joueur effectue la même expérience (c’est-à-dire qu’il effectue des tirages sans remise jusqu’à obtenir la boule de plus grand numéro parmi celles présentent au moment où il entre en jeu).
On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur (nombre qui vaut éventuellement 0).
Donner la loi, l’espérance et la variance de \(X_1\).
Donner la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).
En déduire que pour \(1\leqslant k\leqslant n-1\), \(P(X_2=k)=\displaystyle{1\over n}\sum\limits_{i=k}^{n-1}{1\over i}\), puis donner la loi de \(X_2\).
Calculer l’espérance \(E(X_2)\).
Écrire un programme Pascal choisissant et affichant \(n\) numéros distincts entre 1 et 100, (\(n\) est entré au clavier) puis calculant \(X_1\) et \(X_2\), si l’on suppose que les tirages sont effectués dans l’ordre choisi par l’ordinateur. On pourra s’aider des lignes de programme suivantes, après avoir expliqué ce qu’elles font : REPEAT b[i] := RANDOM(100)+1; a := 0; FOR j :=1 TO i-1 DO IF b[i]=b[j] THEN a := a+1; UNTIL a=0;
REPEAT b[i] := RANDOM(100)+1;
a := 0;
FOR j :=1 TO i-1 DO
IF b[i]=b[j] THEN a := a+1;
UNTIL a=0;
(on rappelle que RANDOM(100) retourne au hasard une valeur entre 0 et 99.)
RANDOM(100)
[probas/ex0001] Dans une urne, on place \(n\) boules portant des numéros 2 à 2 distincts.
[probas/ex0001]
Un premier joueur effectue des tirages d’une boule sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro.
On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.
S’il reste des boules dans l’urne, un second joueur effectue la même expérience sur les boules restantes.
On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur.
Déterminer la loi de \(X_1\) et \(E(X_1)\).
Déterminer la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).
Calculer \(E(X_2)\).
[oraux/ex8390] centrale PC 2015 (avec Python)
[oraux/ex8390]
Une urne contient des boules numérotées de 1 à \(n\). Le premier joueur tire des boules de l’urne sans remise. Il s’arrête lorsqu’il obtient la boule portant le numéro \(n\). On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par le premier joueur. Le deuxième joueur effectue des tirages sans remise jusquà ce qu’il obtienne la boule de numéro maximal restant dans l’urne. On note \(X_2\) le nombre de tirages effetcués par le deuxième joueur. On pose \(X_2=0\) si \(X_1=n\).
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X_1\).
Déterminer \(\mathbf{P}(X_2=k|X_1=j)\). En déduire la loi de \(X_2\) ainsi que son espérance.
Écrire une fonction simulant \(X_1\) et \(X_2\).
[oraux/ex6189] escp S 2015 Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\).
[oraux/ex6189]
On effectue des tirages successifs et sans remise d’une boule de cette urne jusqu’à obtenir la boule numérotée \(n\). On note \(X_1\) le nombre de tirages ainsi effectués.
Déterminer la loi de \(X_1\) et son espérance.
Les deux questions suivantes étudient deux prolongements possibles de l’expérience à l’issue de cette première série de tirages.
Après cette première série de tirages, on continue de sortir les boules de l’urne jusqu’à obtenir la boule de plus grand numéro parmi les numéros restants. On note \(X_2\) le nombre de nouveaux tirages ainsi effectués (si à l’issue de la première série de tirages l’urne est vide, on décide que \(X_2\) prend alors la valeur \(0\)).
Déterminer la loi de \(X_2\) et vérifier que \(\sum\limits_{j=0}^{n-1}P(X_2=j)=1\).
Les variables aléatoires \(X_1\) et \(X_2\) sont-elles indépendantes ?
Calculer l’espérance de \(X_2\).
Après cette première série de tirages, s’il reste au moins une boule dans l’urne, on tire une boule au hasard et on note \(X_3\) le numéro obtenu (si l’urne est vide on convient que \(X_3\) prend la valeur \(0\)).
Déterminer la loi du couple \((X_1,X_3)\).
Déterminer la loi de \(X_3\).
[planches/ex8149] mines MP 2022 On joue à Pile ou Face, on note \(p\in\left]0,1\right[\) la probabilité de tirer Pile. On note \(Z\) la variable aléatoire donnant le rang du premier Pile. Si \(Z=k\), on remplit une urne de \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\), et on tire une boule au hasard. On note \(X\) la variable donnant le numéro de la boule tirée. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X\).
[planches/ex8149]
[planches/ex7895] polytechnique, espci PC 2022 On lance une pièce équilibrée autant de fois qu’il le faut avant de tomber sur pile. On note \(n\) le nombre total de lancers puis on tire aléatoirement un entier de 1 à \(n\) avec probabilité uniforme. On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre ainsi tiré.
[planches/ex7895]
Calculer \(\mathbf{P}(X=1)\).
Calculer l’espérance puis la variance de \(X\).
[oraux/ex6328] escp S 2016 Soit un espace probabilisé \((\Omega,{\cal P}(\Omega ), P)\), où \(\Omega\) est un ensemble fini.
[oraux/ex6328]
On note \({\cal F}\) l’ensemble des variables aléatoires réelles définies sur \(\Omega\) (qui sont toutes les applications de \(\Omega\) dans \(\mathbf{R}\)). On rappelle que \({\cal F}\) est un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel.
Si \(A\) est une partie de \(\Omega\), on note \({\bf 1}_A\) la fonction caractéristique de \(A\), c’est-à-dire l’application définie par : \[\forall\omega\in \Omega,\quad{\bf 1}_A(\omega)=\cases{ 1 & si $\omega\in A$\cr 0 & sinon}\]
Soit \(A \subset \Omega\). Calculer l’espérance \(E({\bf 1}_A)\) de \({\bf 1}_A\).
Montrer que l’application \(\varphi: (X,Y) \mapsto E(XY)\) définie sur \({\cal F}\times {\cal F}\) est un produit scalaire sur \({\cal F}\) si et seulement si pour tout \(\omega\in \Omega\), on a : \(P(\{\omega\}) > 0\).
Dans la suite de l’exercice, on supposera que \(P\) vérifie cette propriété et \({\cal F}\) sera muni de ce produit scalaire.
Soient \(X\), \(Y \in {\cal F}\) deux variables aléatoires non constantes.
On note \(G\) le sous-espace vectoriel de \({\cal F}\) engendré par \(X\) et la variable aléatoire constante égale à 1, c’est-à-dire que \(G=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits (X,{\bf 1}_\Omega)\).
Montrer l’existence et l’unicité de \((a_0,b_0)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(Y -a_0 X -b_0\) est orthogonal à tout élément de \(G\).
En déduire l’expression de la projection orthogonale de \(Y\) sur \(G\).
On la notera \(p_G(Y)\).
Comparer \(E(p_G(Y))\) et \(E(Y)\).
On suppose que \(X = {\bf 1}_A\), où \(A\) est une partie de \(\Omega\) non vide et distincte de \(\Omega\).
Montrer que pour tout \(B \subset \Omega\) : \[p_G({\bf 1}_B) = P_A(B){\bf 1}_A+ P_{\overline A}(B){\bf 1}_{\overline{A}},\] où \(P_V(U)\) désigne la probabilité conditionnelle de l’événement \(U\), sachant que l’événement \(V\) est réalisé.
[examen/ex0376] mines PC 2023 On munit l’ensemble \(\Omega\), fini à \(n\geqslant 2\) éléments, de la loi de probabilité uniforme. On note \(F\) l’espace des variables aléatoires réelles sur \(\Omega\).
[examen/ex0376]
Montrer que l’application \((X,Y)\in F^2\mapsto\mathbf{E}(XY)\) définit un produit scalaire sur \(F\).
Déterminer la projection orthogonale de \(X\in F\) sur la droite dirigée par la variable 1.
[planches/ex3306] polytechnique MP 2018 Sur un même espace probabilisé, on considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), dont \(X\) à valeurs dans \(\mathbf{R}\) et d’espérance finie, et \(Y\) à valeurs dans un ensemble \(A\).
[planches/ex3306]
Montrer qu’il existe une fonction \(h:A\rightarrow\mathbf{R}\) telle que, pour toute fonction bornée \(g:A\rightarrow Y\), on ait \(\mathbf{E}(Xg(Y))=\mathbf{E}(h(Y)g(Y))\). Montrer l’unicité d’une telle fonction sous réserve que \(\mathbf{P}(Y=y)>0\) pour tout \(y\in A\). On fait cette hypothèse dans la suite de l’énoncé.
Montrer que, pour tout \(y\in A\), le réel \(h(y)\) est l’espérance de la variable aléatoire \(X\) pour la loi de probabilité conditionnelle \(\mathbf{P}(Y=y)\).
On se donne ici deux variables aléatoires indépendantes \(X_1\) et \(X_2\) suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\). On se donne \(f:\mathbf{N}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(X=f(X_1)\) soit d’espérance finie. On pose \(Y=X_1+X_2\). Expliciter dans ce cas la variable aléatoire \(h(X)\) où \(h\) est précisée dans la première question.
[planches/ex2161] mines MP 2017 Soient \(p\in[0,1]\) et \(q=1-p\). On définit \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires à valeurs entières telles que, pour tout \((m,n)\in\mathbf{N}^2\), on ait \(\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{m+n}\).
[planches/ex2161]
Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\). Calculer \(\mathbf{E}(X+Y)\).
Calculer \(\mathbf{P}(X\leqslant k)\) pour \(k\in\mathbf{N}\).
On note \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).
Trouver la loi de \(Z\) et calculer son espérance.
Calculer \(\mathbf{E}(|X-Y|)\).
Déterminer la loi de \(T\).
Déterminer la loi de \((X,Z)\) et retrouver la loi de \(Z\).
Déterminer \(\mathbf{P}(X+Y=m)\) pour \(m\in\mathbf{N}\).
[oraux/ex8353] mines PC 2015 Un QCM comporte 20 questions. Pour chacune des questions, il y a \(k\) réponses possibles. On obtient un point par bonne réponse. On répond au hasard, on note \(X\) le nombre de points obtenus. On nous rend le QCM dans lequel on peut modifier les réponses fausses ; on obtient un demi-point pour chaque nouvelle réponse juste obtenue (réponse au hasard parmi les \((k-1)\) restantes). Soit \(Y\) le nombre de points obtenus la deuxième fois.
[oraux/ex8353]
Déterminer l’espérance de \(Y\). Déterminer \(k\) pour que \(\mathbf{E}(Y)=5\).
[planches/ex7292] centrale PC 2021 On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir Pile. Si Pile apparait pour la première fois au \(N\)-ième lancer, on effectue une série de \(N\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de cette deuxième série de lancers.
[planches/ex7292]
Déterminer la loi de \(N\).
Déterminer la loi du couple \((N,X)\).
Déterminer la loi de \(X\) et son espérance.
[planches/ex4848] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) ont même loi.
[planches/ex4848]
Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi ne prenant qu’un nombre fini de valeurs. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles ne prenant qu’un nombre fini de valeurs.
Montrer que \(F_X:t\longmapsto\mathbf{E}(e^{itX})\) définit une fonction sur \(\mathbf{R}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(F_X\) pour que \(X\) soit symétrique.
On suppose \(X\) symétrique. Soit \(\varepsilon\) une variable indépendante de \(X\) telle que : \[\mathbf{P}(\varepsilon=1)=\mathbf{P}(\varepsilon=-1)=1/2.\] Montrer que \(\varepsilon X\) et \(X\) ont même loi.
[oraux/ex6359] escp courts 2016 On utilise une pièce de monnaie qui donne pile avec la probabilité \(p \in\left]0,1\right[\).
[oraux/ex6359]
On commence par lancer la pièce jusqu’à obtenir une première fois Pile et on note \(N\) le nombre de lancers nécessaires. Si le premier Pile a été obtenu au \(n\)-ième lancer, on lance ensuite cette même pièce \(n^2\) fois et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de ces \(n^2\) lancers.
Quelle est la loi suivie par \(N\) ? Donner l’espérance et la variance de \(N\).
Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant l’événement \((N=n)\).
En déduire l’existence et la valeur de l’espérance de \(X\).
[planches/ex1599] ens PSI 2017 Un questionnaire comporte 20 questions. Pour chaque question, \(k\) réponses sont possibles dont une seule est bonne. Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.
[planches/ex1599]
Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points obtenus par le candidat à ce questionnaire. Déterminer la loi de \(X\).
À chaque question, si le candidat s’est trompé, il a droit à une seconde chance et peut choisir une autre réponse parmi celles qui restent. Il gagne alors \(1/2\) point en cas de bonne réponse. Soit \(Y\) le nombre de \(1/2\) points obtenus, déterminer la loi de \(Y\).
Déterminer \(k\) pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.
[oraux/ex8325] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(\Omega\) un univers fini muni d’une probabilité \(\mathbf{P}\). Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, on dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) suivent la même loi.
[oraux/ex8325]
Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables indépendantes suivant la même loi. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On pose \(f_X:t\mapsto\mathbf{E}(e^{itX})\). Montrer que \(f_X\) détermine entièrement la loi de \(X\). Si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), donner une condition nécessaire et suffisante sur \(f_X\) pour que \(X\) soit symétrique.
[oraux/ex8315] polytechnique MP 2015 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé et à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On suppose \(Y\) d’espérance finie.
[oraux/ex8315]
Montrer qu’il existe une fonction \(g:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(g(X)\) soit d’espérance finie et, pour toute fonction \(f:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) bornée, on ait \(\mathbf{E}(Yf(X))=\mathbf{E}(g(X)f(X))\).
Montrer que \(g\) est unique à un ensemble de probabilité nulle (pour la loi de \(X\)) près.
[oraux/ex8489] mines MP 2016 Soient \(p\), \(q\) deux réels, \(X\), \(Y\) deu variables aléatoires entières et \({}\geqslant 0\) telles que : \[\forall(m,n)\in\mathbf{N}^2,\qquad\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{n+m}.\]
[oraux/ex8489]
À quelles conditions sur le couple \((p,q)\) la relation précédente définit-elle bien la loi conjointe de \((X,Y)\) ?
Déterminer alors les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), l’espérance de \(X+Y\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_X(k)=\mathbf{P}(X\leqslant k)\).
On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_Z(k)=\mathbf{P}(Z\leqslant k)\). En déduire la loi de \(Z\) ainsi que son espérance.
Déterminer l’espérance de \(|X-Y|\).
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