Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1599] ens PSI 2017 Un questionnaire comporte 20 questions. Pour chaque question, \(k\) réponses sont possibles dont une seule est bonne. Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.

1. Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points obtenus par le candidat à ce questionnaire. Déterminer la loi de \(X\).

2. À chaque question, si le candidat s’est trompé, il a droit à une seconde chance et peut choisir une autre réponse parmi celles qui restent. Il gagne alors \(1/2\) point en cas de bonne réponse. Soit \(Y\) le nombre de \(1/2\) points obtenus, déterminer la loi de \(Y\).

3. Déterminer \(k\) pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.

[oraux/ex8315] polytechnique MP 2015 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé et à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On suppose \(Y\) d’espérance finie.

1. Montrer qu’il existe une fonction \(g:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(g(X)\) soit d’espérance finie et, pour toute fonction \(f:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) bornée, on ait \(\mathbf{E}(Yf(X))=\mathbf{E}(g(X)f(X))\).

2. Montrer que \(g\) est unique à un ensemble de probabilité nulle (pour la loi de \(X\)) près.

[examen/ex1161] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 Soient \(E=[\![ 1,n]\!]\) et \(p\in\left]0,1\right[\). Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathscr{P}(E)\) telle que \(\forall i\in E\), \(\mathbf{P}(i\in X)=p\) et, pour \(i\neq j\in E\), \((i\in X)\) et \((j\in X)\) sont indépendants.

Pour \(Y\) variable aléatoire de même loi que \(X\) et indépendante de \(X\), calculer \(\mathbf{E}(|X \Delta Y|)\).

[oraux/ex8489] mines MP 2016 Soient \(p\), \(q\) deux réels, \(X\), \(Y\) deu variables aléatoires entières et \({}\geqslant 0\) telles que : \[\forall(m,n)\in\mathbf{N}^2,\qquad\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{n+m}.\]

1. 1. À quelles conditions sur le couple \((p,q)\) la relation précédente définit-elle bien la loi conjointe de \((X,Y)\) ?

   2. Déterminer alors les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), l’espérance de \(X+Y\).

   3. Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_X(k)=\mathbf{P}(X\leqslant k)\).

2. On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).

   1. Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_Z(k)=\mathbf{P}(Z\leqslant k)\). En déduire la loi de \(Z\) ainsi que son espérance.

   2. Déterminer l’espérance de \(|X-Y|\).

[oraux/ex8325] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(\Omega\) un univers fini muni d’une probabilité \(\mathbf{P}\). Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, on dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) suivent la même loi.

1. Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables indépendantes suivant la même loi. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.

2. Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On pose \(f_X:t\mapsto\mathbf{E}(e^{itX})\). Montrer que \(f_X\) détermine entièrement la loi de \(X\). Si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), donner une condition nécessaire et suffisante sur \(f_X\) pour que \(X\) soit symétrique.