Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex0001] Dans une urne, on place \(n\) boules portant des numéros 2 à 2 distincts.

Un premier joueur effectue des tirages d’une boule sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro.

On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.

S’il reste des boules dans l’urne, un second joueur effectue la même expérience sur les boules restantes.

On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur.

1. Déterminer la loi de \(X_1\) et \(E(X_1)\).

2. Déterminer la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).

3. Calculer \(E(X_2)\).

[planches/ex8149] mines MP 2022 On joue à Pile ou Face, on note \(p\in\left]0,1\right[\) la probabilité de tirer Pile. On note \(Z\) la variable aléatoire donnant le rang du premier Pile. Si \(Z=k\), on remplit une urne de \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\), et on tire une boule au hasard. On note \(X\) la variable donnant le numéro de la boule tirée. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X\).

[planches/ex7895] polytechnique, espci PC 2022 On lance une pièce équilibrée autant de fois qu’il le faut avant de tomber sur pile. On note \(n\) le nombre total de lancers puis on tire aléatoirement un entier de 1 à \(n\) avec probabilité uniforme. On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre ainsi tiré.

1. Calculer \(\mathbf{P}(X=1)\).

2. Calculer l’espérance puis la variance de \(X\).

[examen/ex0376] mines PC 2023 On munit l’ensemble \(\Omega\), fini à \(n\geqslant 2\) éléments, de la loi de probabilité uniforme. On note \(F\) l’espace des variables aléatoires réelles sur \(\Omega\).

1. Montrer que l’application \((X,Y)\in F^2\mapsto\mathbf{E}(XY)\) définit un produit scalaire sur \(F\).

2. Déterminer la projection orthogonale de \(X\in F\) sur la droite dirigée par la variable 1.

[concours/ex4920] escp S 2001 Dans cet exercice, \(\Omega\) désigne un ensemble fini non vide, \({\cal P}(\Omega )\) l’ensemble des parties de \(\Omega\) et \((\Omega, {\cal P}(\Omega ), P)\) un espace probabilisé.

On note \({\cal F}\) l’ensemble des applications de \(\Omega\) dans \(\mathbf{R}\). Si \(X \in {\cal F}\), on note \(E(X)\) l’espérance de la variable aléatoire \(X\).

Si \(A\) est une partie de \(\Omega\), on note \(1_A\) la fonction caractéristique de \(A\), c’est-à-dire l’application définie pour tout \(\omega \in \Omega\) par : \[1_A(\omega)= \cases{1 & si $ \omega \in A$\cr 0 & sinon.\cr }\]

1. Soit \(A \subset \Omega\). Calculer \(E(1_A)\).

2. Montrer que l’application \(\varphi\) définie sur \({\cal F}\times {\cal F}\) par : \(\varphi~: (X,Y) \mapsto E(XY)\), est un produit scalaire sur \({\cal F}\) si et seulement si pour tout \(\omega \in \Omega,\ P(\{\omega\}) > 0\).

   Dans la suite de l’exercice, on supposera que \(P\) vérifie cette propriété et \({\cal F}\) sera muni de ce produit scalaire.

3. Soit \(X \in {\cal F}\) une variable aléatoire non constante.

   On note \(G\) le sous-espace vectoriel de \({\cal F}\) engendré par \(X\) et la variable aléatoire constante égale à 1, soit \(G=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits (X,1_\Omega)\). Soit \(Y \in {\cal F}\).

   1. Déterminer les réels \(a_0\) et \(b_0\) pour lesquels \(Y -a_0 X -b_0\) est orthogonal à tout élément de \(G\).

   2. En déduire l’expression de la projection orthogonale de \(Y\) sur \(G\) qu’on notera \(p_G(Y)\).

   3. Comparer \(E(p_G(Y))\) et \(E(Y)\).

   4. On suppose que \(X = 1_A\), avec \(A\) partie de \(\Omega\) non vide et distincte de \(\Omega\). Montrer que pour tout \(B \subset \Omega\) : \[p_G(1_B) = P(B/A) 1_A+ P(B/\overline{A}) 1_{\overline{A}},\] où \(P(U/V)\) désigne la probabilité conditionnelle de l’événement \(U\), sachant que l’événement \(V\) est réalisé.