[planches/ex7834] polytechnique PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(U=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(V=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex7834]
Trouver les lois de \(U\) et \(V\).
Trouver la loi de \((U,V)\).
Trouver la loi de \(U+V\) et son espérance.
[planches/ex8634] centrale PSI 2022 (avec Python)
[planches/ex8634]
Python
Deux amis se sont donné rendez-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur \(\{0,\ldots,59\}\).
À quoi correspond la variable \(T=|X-Y|\) ?
Donner la loi de \(T\).
Écrire une fonction rdv(n) qui renvoie les résultats de \(n\) simulations de \(T\).
rdv(n)
Calculer la valeur exacte de l’espérance de \(T\).
Donner une approximation de l’espérance avec Python. Commenter l’écart.
On pose \(n=10^5\). Donner une fonction qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide de la fonction rdv. Commenter les écarts.
rdv
On découpe une heure en \(N\) divisions de temps. Donner un équivalent de la probabilité que les amis arrivent en même temps lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex6189] escp S 2015 Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\).
[oraux/ex6189]
On effectue des tirages successifs et sans remise d’une boule de cette urne jusqu’à obtenir la boule numérotée \(n\). On note \(X_1\) le nombre de tirages ainsi effectués.
Déterminer la loi de \(X_1\) et son espérance.
Les deux questions suivantes étudient deux prolongements possibles de l’expérience à l’issue de cette première série de tirages.
Après cette première série de tirages, on continue de sortir les boules de l’urne jusqu’à obtenir la boule de plus grand numéro parmi les numéros restants. On note \(X_2\) le nombre de nouveaux tirages ainsi effectués (si à l’issue de la première série de tirages l’urne est vide, on décide que \(X_2\) prend alors la valeur \(0\)).
Déterminer la loi de \(X_2\) et vérifier que \(\sum\limits_{j=0}^{n-1}P(X_2=j)=1\).
Les variables aléatoires \(X_1\) et \(X_2\) sont-elles indépendantes ?
Calculer l’espérance de \(X_2\).
Après cette première série de tirages, s’il reste au moins une boule dans l’urne, on tire une boule au hasard et on note \(X_3\) le numéro obtenu (si l’urne est vide on convient que \(X_3\) prend la valeur \(0\)).
Déterminer la loi du couple \((X_1,X_3)\).
Déterminer la loi de \(X_3\).
[planches/ex7895] polytechnique, espci PC 2022 On lance une pièce équilibrée autant de fois qu’il le faut avant de tomber sur pile. On note \(n\) le nombre total de lancers puis on tire aléatoirement un entier de 1 à \(n\) avec probabilité uniforme. On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre ainsi tiré.
[planches/ex7895]
Calculer \(\mathbf{P}(X=1)\).
Calculer l’espérance puis la variance de \(X\).
[probas/ex0001] Dans une urne, on place \(n\) boules portant des numéros 2 à 2 distincts.
[probas/ex0001]
Un premier joueur effectue des tirages d’une boule sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro.
On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.
S’il reste des boules dans l’urne, un second joueur effectue la même expérience sur les boules restantes.
On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur.
Déterminer la loi de \(X_1\) et \(E(X_1)\).
Déterminer la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).
Calculer \(E(X_2)\).
Un exercice sélectionné se reconnaît à sa bordure rouge