Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8547] centrale PSI 2016 (avec Python)

Deux amis se sont donné rendz-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires suivant la loi uniforme sur \([[0,59]]\).

1. À quoi correspond la variable \(T=|X-Y|\) ?

2. Donner la loi de \(T\).

3. Écrire une fonction rdv(n) qui renvoie les résultats de \(n\) simulations de \(T\).

4. 1. Calculer l’espérance exacte de \(T\).

   2. Donner une approximation de l’espérance avec Python. Commenter l’écart.

5. On pose \(n=10^5\). Écrire un programme qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide du programme rdv(n). Commenter les écarts.

[planches/ex7834] polytechnique PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(U=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(V=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).

1. Trouver les lois de \(U\) et \(V\).

2. Trouver la loi de \((U,V)\).

3. Trouver la loi de \(U+V\) et son espérance.

[planches/ex7417] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres respectifs \(p_1\in\left]0,1\right[\) et \(p_2\in\left]0,1\right[\).

1. Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).

2. Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).

[oraux/ex6078] escp S 2014 Toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\).

Soit \(N\in\mathbf{N}^*\).

Le programme d’un examen est constitué de \(N\) questions dont \(n\) (différentes) sont tirées au hasard pour constituer l’épreuve. Chacune de ces \(n\) questions fait l’objet d’un questionnaire à choix multiples (QCM) ; chaque question comporte 4 réponses dont une seule est juste ; donner une réponse juste rapporte \(1\) point et une réponse fausse rapporte \(0\) point.

Un candidat donné connaît une proportion \(p\) des réponses aux questions du programme ; on note \(X\) le nombre de questions de l’examen dont le candidat connaît la réponse et auxquelles il répondra donc correctement ; pour les autres questions, le candidat « tentera sa chance » en donnant une réponse au hasard à la question posée. On note \(Y\) la note de ce candidat.

1. 1. Déterminer la loi de \(X\) et donner son espérance.

   2. Pour \(n\) et \(p\) fixés, par quelle loi peut-on approcher celle de \(X\) lorsque \(N\) tend vers l’infini ?

      Donner la variance de cette loi approchée. Dans la suite, on utilisera cette approximation pour évaluer \(V(X)\).

2. Pour tout \(k\in[[ 0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y-X\) sachant que \((X=k)\) est réalisé, préciser son espérance \(E(Y-X|X=k)\) et sa variance \(V(Y-X|X=k)\).

3. Déterminer l’espérance de \(Y\).

4. 1. Pour tout \(k\in [[0,n ]]\), montrer que :

      \(E((Y-E(Y))^2|X=k)=E((Y-E(Y|X=k))^2|X=k)+(E(Y|X=k)-E(Y))^2\).

   2. En déduire que la variance de \(Y\) vaut : \(V(Y)=\displaystyle{n(1-p)\over16}(3+9p)\).

[planches/ex8634] centrale PSI 2022 (avec Python)

Deux amis se sont donné rendez-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur \(\{0,\ldots,59\}\).

1. À quoi correspond la variable \(T=|X-Y|\) ?

2. Donner la loi de \(T\).

3. Écrire une fonction rdv(n) qui renvoie les résultats de \(n\) simulations de \(T\).

4. 1. Calculer la valeur exacte de l’espérance de \(T\).

   2. Donner une approximation de l’espérance avec Python. Commenter l’écart.

5. On pose \(n=10^5\). Donner une fonction qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide de la fonction rdv. Commenter les écarts.

6. On découpe une heure en \(N\) divisions de temps. Donner un équivalent de la probabilité que les amis arrivent en même temps lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\).