Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex1040] Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes, ayant autant de chances l’une et l’autre de prendre n’importe quelle valeur parmi 1, 2, … , \(m\). Montrer que : \[E(|X-Y|)={(m-1)(m+1)\over3m}.\]

[planches/ex8487] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On se donne deux variables aléatoires indépendantes \(X_n\), \(Y_n\) suivant la loi uniforme sur \(\mathbf{U}_n\).

1. Calculer l’espérance \(E_n\) et la variance \(V_n\) de \(Z_n=|X_n-Y_n|\).

2. Déterminer la limite de chaque suite \((E_n)\) et \((V_n)\).

[planches/ex2689] ensea MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \([[0,n]]\) telles que, pour tout \(k\in[[0,n]]\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(\{Y=k\}\) est la loi uniforme sur \([[0,k]]\). Déterminer la loi de \((X,Y)\) puis la loi de \(X\), en fonction de celle de \(Y\). Calculer l’espérance de \(X\) en fonction de celle de \(Y\).

[oraux/ex8482] mines MP 2016 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On considère \(n\) urnes \(U_1\), … , \(U_n\). Pour \(k=1\), … , \(n\), l’urne \(U_k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit en toute indépendance et uniformité, une urne, puis une boule dans cette urne. La variable aléatoire \(X\) indique le numéro de l’urne choisie, la variable aléatoire \(Y\) le numéro de la boule.

1. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).

2. Calculer l’espérance de \(Y\).

[oraux/ex6106] escp B/L 2014

1. Soit \(N\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\), à valeurs dans \(\mathbf{N}\) ; pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on note \(p_n = P(N=n)\).

   Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur le même espace et telle que, pour tout \(n \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N=n)\) est la loi uniforme sur \([[0,n]]\).

   1. Déterminer la loi de \(X\).

   2. Déterminer la loi de \(N-X\).

2. Dans cette question, on suppose que pour tout \(n\in \mathbf{N}\), on a \(p_n=\displaystyle {2\over(n+2)\,(n+3)}\).

   1. Déterminer trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \[\forall n \in \mathbf{N},\ {2\over(n+1)\,(n+2)\,(n+3)} ={a\over n+1} +{b\over n+2} + {c\over n+3}\]

   2. Déterminer la loi de \(X\).

   3. Les variables \(X\) et \(Y = 1/(X+3)\) admettent-elles une espérance ? La calculer le cas échéant.

3. Dans un casino, une machine propose le jeu suivant : dans un premier temps, la machine tire au hasard, avec remise, une carte dans un jeu comportant une proportion \(1-q=p \in \left] 0,1\right[\) d’As. On suppose les tirages indépendants. La machine (qui mémorise les cartes tirées) s’arrête à la première apparition d’un As.

   Ensuite, la machine ajoute aux cartes déjà tirées un joker, puis choisit au hasard une carte parmi celles-ci. Si elle tire le joker, on ne gagne rien. Sinon, on gagne une somme \(S\) égale au rang de sortie de la carte tirée (par exemple, si les tirages ont été successivement \(3\) \(\heartsuit\), \(9\) \(\spadesuit\,\), R \(\clubsuit\,\), A \(\heartsuit\) et que le résultat du jeu est R \(\clubsuit\) (3-ième carte tirée), on gagne \(3\) Euros.)

   Quel est le prix minimum de la partie pour que le casino espère gagner de l’argent ? Que vaut ce prix pour un jeu classique de 52 cartes comportant quatre As ?