[examen/ex0030] mines MP 2023 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de même loi et d’espérance finie. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\).
[examen/ex0030]
Indication : Commencer par le cas où \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
[oraux/ex4644] escp courts 2011 Soit \(N\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) ; pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on note \(p_n = P(N=n)\).
[oraux/ex4644]
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur le même univers \(\Omega\) et telle que, pour tout \(n \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \([N=n]\) est la loi uniforme sur \(\{ 0,1, \ldots, n \}\).
Comparer la loi de \(X\) et celle de \(N-X\).
Si \(N\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), calculer \(E(X)\).
[planches/ex2163] mines MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbf{N}^*\) telles que \(X\leqslant Y\), pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on ait \(\mathbf{P}(Y=n)>0\) et que \(X\) suive la loi uniforme pour la probabilité conditionnelle à \(\{Y=n\}\).
[planches/ex2163]
Que peut-on dire des lois de \(X\) et \(Y-X+1\) ?
Montrer que si \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), alors \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes.
Montrer que si \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes, alors \(X\) suit une loi géométrique.
On suppose \(Y\) d’espérance finie. Montrer que \(X\) est d’espérance finie et exprimer \(\mathbf{E}(X)\) en fonction de \(\mathbf{E}(Y)\).
[concours/ex4627] escp S 2004 Soient \(N\) et \(X\) deux variables aléatoires discrètes définies sur le même univers \(\Omega\), telles que \(N(\Omega) \subset \mathbf{N}\), et que pour \(k \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N=k)\) est la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,k \}\).
[concours/ex4627]
On note, pour \(k \in \mathbf{N}\) , \(p_k = P(N=k)\).
Déterminer la loi du couple \((X,N)\) en fonction de la loi de \(N\).
Donner, sous la forme d’une somme faisant intervenir les \(p_k\), la probabilité \(P(X=i)\), pour \(i \in \mathbf{N}\).
Montrer que \((N-X)(\Omega) \subset \mathbf{N}\) et que \(N-X\) suit la même loi que \(X\).
On suppose dans cette question qu’il existe \(n \geqslant 2\) vérifiant \(\forall k \geqslant n+1\), \(p_k = 0\) et \(\forall k \leqslant n\), \(p_k >0\).
Justifier l’existence des espérances et variances de \(N\) et de \(X\) et de la covariance de \(N\) et \(X\).
Trouver une relation entre \(E(N)\) et \(E(X)\), puis entre \(V(N)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,X)\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,N-2X)\). Les variables \(N\) et \(N-2X\) sont-elles indépendantes ?
On suppose dans cette question que \(p_0 = p_1 = 0\) et \(\forall k \geqslant 2\), \(p_k = {1\over k(k-1)}\).
Déterminer explicitement la loi du couple \((X,N)\) et la loi de \(X\).
Les variables \(X\) et \(N\) admettent-elles une espérance ?
Montrer que les espérances \(E\left(\displaystyle{1\over X+1}\right)\) et \(E\left(\displaystyle{1\over N+1} \right)\) existent et les calculer.
[planches/ex8487] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On se donne deux variables aléatoires indépendantes \(X_n\), \(Y_n\) suivant la loi uniforme sur \(\mathbf{U}_n\).
[planches/ex8487]
Calculer l’espérance \(E_n\) et la variance \(V_n\) de \(Z_n=|X_n-Y_n|\).
Déterminer la limite de chaque suite \((E_n)\) et \((V_n)\).
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