Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4748] polytechnique MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(H\) et \(K\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(R\) dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) de trace 1. Pour \((s,t)\in\mathbf{R}^2\), soit \(f(s,t)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(Re^{i(tH+sK)}\right)\).

1. On suppose que \(KH=HK\). Montrer qu’il existe deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(Y\) telles que \(\forall(s,t)\in\mathbf{R}^2\), \(f(s,t)=\mathbf{E}\left(e^{i(tX+sY)}\right)\).

2. En considérant \(R=\pmatrix{1&0\cr0&0}\), \(H=\pmatrix{0&1\cr1&0}\), \(K=\pmatrix{1&0\cr0&-1}\), montrer que le résultat précédent ne subsiste pas si l’on omet l’hypothèse \(HK=KH\).

3. On revient à la situation de la première question. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\ell_1\), … , \(\ell_n\) dans \(\mathbf{R}\), \(s_1\), … , \(s_n\), \(t_1\), … , \(t_n\) dans \(\mathbf{C}\), montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\ell_i\overline\ell_j f(s_i-s_j,t_i-t_j)\geqslant 0\).

[probas/ex0241] Une urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\). On effectue \(N\) tirages avec remise et on note \(Z_n\) le nombre de numéros non encore sortis à l’issue du \(n\)-ième tirage.

1. Déterminer la loi de \(Z_1\).

2. Calculer \(E(Z_n)\).

3. Déterminer la probabilité d’obtenir au \(n\)-ième tirage un numéro qui n’est pas encore sorti.

[oraux/ex6074] escp S 2014 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) admettant un moment d’ordre \(2\).

Déterminer la valeur qui minimise l’application définie sur \(\mathbf{R}\) par \(x\mapsto E((X-x)^2)\), où \(E\) désigne l’opérateur espérance.

Dans la suite de l’exercice, on considère un ensemble fini \(\Omega=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) et \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)\) un espace probabilisé de support \(\Omega\).

Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur cet espace. Pour tout réel \(t\), on définit l’application \(P_t~: \Omega \rightarrow \mathbf{R}\) par : \[\hbox{pour tout }A\in\mathscr{P}(\Omega),\ P_t(A)={E({\bf 1}_A\, e^{tX})\over E(e^{tX})}\] où \({\bf 1}_A\) est la fonction indicatrice de l’ensemble \(A\).

1. Montrer que l’on définit ainsi une probabilité sur \(\Omega\) et que pour tout \(\omega\in \Omega\) : \[P_t(\omega)={P(\omega)e^{tX(\omega)}\over E(e^{tX})}\]

2. 1. Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathscr{P}(\Omega),P_t)\). Calculer \(E_t(Y)\).

   2. Que peut-on dire de \(E_t(Y)\) si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ?

   3. Dans cette question \(\Omega=\{0, 1, \ldots, n\}\) et \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On pose \(Y=2^X\). Calculer \(E_t(Y)\).

3. On revient au cas général. À l’aide de la question préliminaire, montrer que : \[E_t((X-E_t(X))^2) \leqslant{1\over4}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)- \mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\right)^2\]

[examen/ex0565] centrale PC 2023 On dispose d’une pièce donnant pile avec un probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir pile. On note \(N\) le nombre de lancers nécessaires pour obtenir ce premier pile. On lance ensuite \(N\) fois cette pièce et on note \(X\) le nombre de pile obtenus au cours de ces \(N\) lancers.

1. Quelle est la loi de \(N\) ? Donner la loi du couple \((N,X)\).

2. En déduire la loi de \(X\).

3. Soit \(\lambda\in\left]0,1\right[\). Soient \(U\), \(V\) deux variables aléatoires indépendantes telles que \(U\sim\mathscr{B}(\lambda)\) et \(V\sim\mathscr{G}(\lambda)\). Trouver \(\lambda\) tel que \(UV\sim X\).

4. Calculer \(\mathbf{E}(X)\) et \(\mathbf{V}(X)\).

[planches/ex9392] ens PC 2023 Soient \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\{1,2,3\}\) telles que \(Y\) suive la loi uniforme sur \(\{1,2,3\}\) et \(\mathbf{P}(X=1)=\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\mathbf{P}(X=2)=\mathbf{P}(X=3)=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Quelle est la valeur minimale de \(\mathbf{E}((X-Y)^2)\) ?