Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8323] polytechnique, espci PC 2015

1. Soient \((x,y)\in(\mathbf{R}_+)^2\) et \((p,q)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que \(1/p+1/q=1\). Montrer : \[x^{1/p}y^{1/q}\leqslant{x\over p}+{y\over q}.\]

2. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires positives. Montrer : \[\mathbf{E}(XY)\leqslant\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\mathbf{E}(Y^q)^{1/q}.\]

[planches/ex4250] escp B/L 2018 Toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\).

Une urne contient exclusivement des boules rouges et noires indiscernables au toucher.

La proportion de boules rouges est \(p\in\left]0,1\right[\). On effectue des tirages successifs d’une boule avec remise.

On commence par effectuer des tirages de boules jusqu’à obtention d’une boule rouge ; on note \(N\) le nombre de tirages qui ont été nécessaires pour obtenir cette première boule rouge.

On effectue ensuite \(N\) tirages successifs et on s’intéresse à \(X\) qui représente le nombre de boules rouges obtenues lors de ces \(N\) tirages.

1. Quelle est la loi de de la variable aléatoire \(N\) ?

2. Pour un entier \(n\geqslant 1\), quelle est la loi conditionnelle de \(X\) sachant \([N=n]\) ?

3. Déterminer la loi du couple \((N,X)\).

4. Déterminer la loi de \(X\). On pourra utiliser sans démonstration l’égalité : \[(*)\quad\forall k\in\mathbf{N},\quad\forall x\in\left]-1,1\right[,\quad{1\over(1-x)^{k+1}}=\sum\limits_{m=0}^{+ \infty}{m+k\choose k}x^m.\]

5. Soit un réel \(\lambda\in\left]0,1\right[\). On considère deux variables aléatoires \(U\) et \(V\) indépendantes, telles que \(U\) suit une loi de Bernouilli de paramètre \(\lambda\) et \(V\) suit une loi géométrique de paramètre \(\lambda\).

   Déterminer la loi de la variable aléatoire \(UV\).

6. En déduire que \(X\) a même loi qu’un produit de deux variables aléatoires indépendantes, l’une suivant une loi de Bernoulli et l’autre une loi géométrique.

7. Exprimer \(\mathbf{E}(X)\) et \(\mathbf{V}(X)\) en fonction de \(\lambda\).

[probas/ex1414] Un couple de variables aléatoires discrètes a pour loi : \[\mathbf{P}(X=x,Y=y)=\displaystyle{2x+y\over42}\hbox{ pour }x\in[[0,2]]\hbox{ et }y\in[[0,3]],\quad0\hbox{ ailleurs.}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X=2\).

[concours/ex4955] escp B/L 2001 On considère une entreprise de \(400\) salariés. La moyenne et l’écart-type du salaire mensuel de tout le personnel sont respectivement \(\overline{x} = 10000\) F et \(\sigma (x) = 2000\) F. Le salaire le plus bas est \(6000\) F et le salaire le plus élevé est \(30000\) F.

À la suite d’une grève, des négociations salariales s’ouvrent. à l’issue de celles-ci, le salaire de chaque salarié sera majoré en appliquant la formule générale suivante : \(y_i = a x_i + b\), où :

• le nombre \(x_i\) représente le salaire du salarié \(i\) avant l’augmentation,

• le nombre \(y_i\) représente le salaire du salarié \(i\) après l’augmentation,

• les coefficients \(a\) et \(b\) sont à déterminer.

Trois propositions sont sur la table des négociations :

1. augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type.

2. augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion relative des salaires mesurée par le coefficient de variation \(C V =\displaystyle{\hbox{écart-type} \over {\rm moyenne}}\).

3. réduire de \(2 \%\) la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type tout en augmentant la masse salariale d’un montant tel qu’aucun salaire ne diminue.

1. Calculer la masse salariale et le coefficient de variation des salaires avant l’augmentation.

2. Pour chacune des trois propositions en présence :

   1. Calculer les paramètres \(a\) et \(b\) à utiliser. (Pour \({\rm P}_3\) on prendra la plus petite valeur de \(b\) vérifiant toutes les conditions).

   2. Calculer la moyenne du nouveau salaire mensuel.

3. Autour de la table de négociations, on trouve trois groupes : des représentants de la direction, des représentants des cadres et des représentants des salariés non cadres, chaque groupe ayant formulé une des trois propositions.

   1. Calculer, en pourcentage, l’augmentation de la masse salariale correspondant à la proposition \({\rm P}_3\).

   2. Donner l’allure de la représentation graphique, dans un même repère, du nouveau salaire \(y\) en fonction de l’ancien \(x\) pour chacune des propositions. On s’intéressera uniquement à la position relative de ces droites.

   3. Identifier, en utilisant les résultats précédents, de quel groupe émane chacune des propositions.

[examen/ex0894] escp courts S 2021 Dans une urne contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\), on pioche une boule ; si elle porte le numéro \(k\), on remet alors \(k\) boules de numéro \(k\) dans l’urne. On note \(X\), le numéro de la première boule, \(Y\) celui de la deuxième.

1. Donner la loi de \(X\), puis la loi de \(Y\), en fonction de \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{m=n+1}^{2n}{1\over m}\).

2. Calculer l’espérance de \(Y\).