Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6846] mines MP 2021 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \((\Omega,\mathscr{T},\mathbf{P})\) un espace probabilité, \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes définies sur \((\Omega,\mathscr{T},\mathbf{P})\) suivant la loi uniforme sur \(\{1,2,\ldots,n\}\), \(m\in\{1,\ldots,n\}\). Soit \(Z\) la variable aléatoire telle que \(Z(\omega)=X(\omega)\) si \(Y(\omega)\leqslant m\) et \(Z(\omega)=Y(\omega)\) sinon.

1. Déterminer la loi de \(Z\). Calculer \(\mathbf{E}(Z)\).

2. Déterminer les entiers \(m\) qui maximisent l’espérance de \(Z\).

[probas/ex0169] hec 1995 On considère un entier naturel \(n\) non nul, un réel \(p\) de \(\left]0,1\right[\) ; \(X\) est une variable aléatoire avec \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\).

Les valeurs prises par \(X\) sont affichées par un compteur défaillant ; lorsqu’il doit afficher 0, il affiche en fait au hasard un nombre compris entre 1 et \(n\) ; sinon il affiche le bon résultat.

Soit \(Y\) la variable aléatoire correspondant au numéro affiché par le compteur. Donner la loi de \(Y\) et \(E(Y)\).

[planches/ex8157] mines MP 2022 Soient \(X\), \(Y\) deux variables indépendantes à valeurs dans \(\mathbf{N}\). On suppose que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(\mathbf{P}(Y=k)>0\), et que \(\mathbf{E}(Y)<\infty\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on définit la variable aléatoire \(Z_n\) par \(Z_n(\omega)=X(\omega)\) si \(Y(\omega)\leqslant n\) et \(Z_n(\omega)=Y(\omega)\) sinon. Montrer que la suite \(\mathbf{E}(Z_n)\) possède une valeur maximale pour au plus deux valeurs de \(n\).

[concours/ex4916] escp S 2001 Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une boîte contient \((2n+1)\) jetons bicolores (une face est blanche, l’autre est noire). Les jetons sont numérotés de \(1\) à \(2n+1\) sur leur face blanche, les faces noires ne portant pas de numéro.

On lance simultanément tous les jetons et on observe leurs faces supérieures.

1. Une et une seulement des deux couleurs apparaît un nombre impair de fois. Soit \(X\) la variable aléatoire associée à ce nombre.

   1. Déterminer la loi de \(X\).

   2. Calculer son espérance et sa variance.

2. Suite au lancer, on ramasse les jetons de la couleur apparaissant un nombre impair de fois et on note les numéros de leur face blanche. Soit \(Y\) la variable aléatoire représentant le plus petit de ces nombres.

   1. Soit \(k\in[[0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y\), conditionnée par l’événement \((X=2k+1)\).

   2. En déduire la loi de \(Y\). Calculer son espérance.

[probas/ex1467] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).