Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4776] escp S 2012 Une urne contient \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\) et \(k\) boules bleues non numérotées. Les boules sont tirées avec remise jusqu’à ce qu’une boule bleue soit tirée. Au cours de ces tirages, on définit le nombre \(R\) de répétitions de la manière suivante :

au début, \(R =0\). Ensuite, on ajoute \(1\) à \(R\) dès que l’on obtient une boule numérotée qui avait été déjà tirée précédemment.

1. Déterminer les probabilités des événements suivants :

   • \(A_1=\) « la première boule tirée est la boule numéro \(1\) ».

   • \(A_2=\) « la première boule tirée est une boule portant un numéro strictement supérieur à \(1\) ».

   • \(A_3=\) « la première boule tirée est une boule bleue ».

2. On note \(A_0\) l’événement « la boule numéro \(1\) n’est jamais tirée lors du jeu ». En utilisant la formule des probabilités totales avec les événements précédents, montrer que \(P(A_0) = \displaystyle{k\over k+1}\).

3. On note \(X\) le nombre de fois où l’on a tiré la boule \(1\) au cours du jeu. En utilisant un raisonnement analogue à celui de la question précédente, montrer que \(E(X) = \displaystyle{1\over k}\).

4. On définit la variable aléatoire \(Y\) par : \[\cases{\hbox{Si $X\geqslant 1$, alors $Y=X-1$}\cr \hbox{Si $X=0$, alors $Y=0$}\cr}\] (\(Y\) est donc le nombre de répétitions de la boule numérotée \(1\).)

   Montrer que \(E(Y) =\sum\limits_{m\geqslant 1} (m-1) P(X = m)\) puis que \(E(Y) = \displaystyle{1\over k(k+1)}\).

   Soit \(r\) un entier naturel. On recherche la valeur minimale de \(k\) (en fonction de \(n\) et \(r\)) de manière à ce que le nombre moyen \(t\) de répétitions soit inférieur ou égal à \(r\).

5. Montrer que \(t = n E(Y)\).

6. En déduire que la valeur minimale recherchée est \(k_0 = \left\lfloor{\sqrt{\displaystyle{n\over r} + {1\over4}} - \displaystyle{1\over2}}\right\rfloor\).

[probas/ex1467] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).

[examen/ex0565] centrale PC 2023 On dispose d’une pièce donnant pile avec un probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir pile. On note \(N\) le nombre de lancers nécessaires pour obtenir ce premier pile. On lance ensuite \(N\) fois cette pièce et on note \(X\) le nombre de pile obtenus au cours de ces \(N\) lancers.

1. Quelle est la loi de \(N\) ? Donner la loi du couple \((N,X)\).

2. En déduire la loi de \(X\).

3. Soit \(\lambda\in\left]0,1\right[\). Soient \(U\), \(V\) deux variables aléatoires indépendantes telles que \(U\sim\mathscr{B}(\lambda)\) et \(V\sim\mathscr{G}(\lambda)\). Trouver \(\lambda\) tel que \(UV\sim X\).

4. Calculer \(\mathbf{E}(X)\) et \(\mathbf{V}(X)\).

[concours/ex4639] escp S 2004 On considère une variable aléatoire \(X\) telle que : \(X(\Omega)=\mathbf{N}\) et \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(P(X=k)=p.q^k\), où \(p\) est un réel fixé de \(\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).

1. Montrer que \(X\) admet des moments de tous ordres et calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

2. On pose \(Y=\displaystyle{1\over X+1}\).

   1. Déterminer la loi de \(Y\).

   2. Montrer que pour \(t\in\left[0,1\right[\) et \(n\in\mathbf{N}\) : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n+1}\displaystyle{t^k\over k}+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)=\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over 1-x}\,dx\).

   3. En déduire que pour \(t\in\left[0,1\right[\), \(\sum\limits\limits_{k=1}^{+\infty}\displaystyle{t^k\over k}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\).

   4. Montrer que \(Y\) admet une espérance et calculer \(E(Y)\).

3. Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(k\) de \(\mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) conditionnée par la réalisation de l’événement \((X=k)\) est uniforme sur \([[0;k]]\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\) (on laissera les résultats sous forme de sommes).

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance.

[planches/ex8260] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre \(p\).

1. Déterminer la loi de la variable \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) ; préciser son espérance et sa fonction génératrice.

2. Montrer que la variable \(\displaystyle{1\over T(T+1)}\) admet une espérance finie puis la calculer.