Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6083] escp S 2014 On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) telle que \[X(\Omega)=\mathbf{N} \hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)={a^k\over(1+a)^{k+1}},\] où \(a>0\) est fixé.

1. Vérifier que l’on a bien défini une loi de probabilité.

   Dans toute la suite, on désigne par \(Y\) une variable aléatoire indépendante de \(X\), définie sur le même espace probabilisé, et suivant la même loi que \(X\).

2. On considère la variable aléatoire \(Z=X+Y\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\).

   2. Trouver l’espérance de la variable aléatoire \(S=\displaystyle{1\over1+Z}\).

   3. Déterminer \(E\left(\displaystyle{X\over1+Z}\right)\).

3. On considère maintenant la variable aléatoire \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits(X,Y)\), définie par :

   pour tout \(\omega \in \Omega\), \(T(\omega) =\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X(\omega), Y(\omega))\).

   1. Déterminer \(P(X\leqslant n)\) pour tout \(n \in \mathbf{N}\).

   2. Prouver que la loi de \(T\) est donnée par \(T(\Omega)=\mathbf{N}\) et : \[\forall m\in\mathbf{N},\ P(T=m)={1+2a\over(1+a)^2}\left({a\over1+a}\right)^{\!2m}.\]

[planches/ex5660] ccp PSI 2019 On considère \(2n\) lapins sélectionnés aléatoirement dans un enclos à lapins. La probabilité qu’un lapin soit mâle est \(1/2\). On note \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de lapins mâles obtenus et \(C\) la variable aléatoire égale au le nombre de couples possibles (un lapin mâle \(+\) un lapin femelle).

1. Donner la loi de \(M\).

2. Donner une relation entre \(C\) et \(M\).

3. Donner la loi de \(C\).

4. Calculer l’espérance de \(C\).

[planches/ex8266] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur \([[1,n]]\). Soit \(m\in[[1,n]]\). Soit \(Z\) telle que \(Z=X\) si \(Y\leqslant m\), et \(Z=Y\) sinon.

1. Déterminer la loi de \(Z\).

2. Calculer les espérances de \(X\), \(Y\) et \(Z\).

3. Pour quels entiers \(m\in[[1,n]]\) l’espérance \(\mathbf{E}(Z)\) est-elle maximale ?

[planches/ex6857] mines MP 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\) dans \(\left]0,1\right[\). On pose \(Z_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-n(X+Y))\). Justifier que \(Z_n\) admet une variance. Trouver un équivalent de \(\mathbf{V}(Z_n)\).

[concours/ex4746] escp S 2003

Pour \(m\geqslant 1\), on considère une série statistique \((M_i)_{1\leqslant i\leqslant m}\) à deux variables. La première variable est notée \(Z\), la seconde \(T\) et on écrit \(M_i(z_i,t_i)\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,m\}\).

Pour les applications numériques on prend \(\overline{Z}=\overline{T}=10\), \(V(Z)=V(T)=9\) et \({\rm cov}(Z,T)=4\) et on pose \(A=\left(\begin{array}{cc}9&4\\ 4&9\end{array}\right)\).

On identifie les éléments de \(\mathbf{R}^2\) et de \({\cal M}_{2,1}(\mathbf{R})\).

1. 1. Diagonaliser \(A\) dans une base orthonormale \((e_1,e_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) pour le produit scalaire usuel.

      Déterminer une matrice \(P\) de \({\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}={}^tP\) et \(^tPAP\) soit diagonale.

   2. Pour tout \((x,y)\) de \(\mathbf{R}^2\) on pose \(f(x,y)= \left(\begin{array}{cc}x&y\end{array}\right)\times A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\).

      Montrer que l’application \((x,y)\mapsto \displaystyle{f(x,y)\over x^2+y^2}\) admet un minimum et un maximum sur \(E=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), extremums que l’on déterminera (on pourra travailler dans la base \((e_1,e_2)\)).

   3. En déduire les \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbf{R}^2\) tels que \(\alpha^2+\beta^2=1\) qui donnent une série statistique \(\alpha\,Z+\beta\,T\) de variance maximale ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale. Déterminer les extremums.

   4. Si l’on appelle \(u_1=(\alpha_1,\beta_1)\) un couple qui donne une série statistique de variance minimale, déterminer une équation de la droite passant par le point moyen de la série et dirigée par ce vecteur.

      Montrer que cette droite est celle qui réalise le minimum de la somme des carrés des distances des points \(M_i\) à une droite \(\Delta\) passant par le point moyen \(\Omega(\overline Z,\overline T)\), d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\) dans le plan \(\mathbf{R}^2\) muni de sa structure euclidienne canonique (on pourra utiliser la formule \(d(M_i,\Delta)=\displaystyle{|\alpha\,z_i+\beta\,t_i+c|\over\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\) qui donne la distance d’un point \(M_i\) à la droite \(\Delta\) d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\)).

      Qu’en est-il si l’on n’impose plus à la droite de passer par \(\Omega\) ?

2. Déterminer les \((\alpha,\beta)\) tels que \(\alpha\geqslant 0\), \(\beta\geqslant 0\) et \(\alpha+\beta=1\) pour lesquels la série statistique \(\alpha Z+\beta T\) admet une variance maximale que l’on déterminera ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale.