Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8260] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre \(p\).

1. Déterminer la loi de la variable \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) ; préciser son espérance et sa fonction génératrice.

2. Montrer que la variable \(\displaystyle{1\over T(T+1)}\) admet une espérance finie puis la calculer.

[probas/ex1099] On lance deux dés. Soit \(X\) la valeur du premier dé et \(Y\) la somme des deux valeurs. Calculer la fonction génératrice des moments conjoints de \(X\) et \(Y\).

[probas/ex0241] Une urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\). On effectue \(N\) tirages avec remise et on note \(Z_n\) le nombre de numéros non encore sortis à l’issue du \(n\)-ième tirage.

1. Déterminer la loi de \(Z_1\).

2. Calculer \(E(Z_n)\).

3. Déterminer la probabilité d’obtenir au \(n\)-ième tirage un numéro qui n’est pas encore sorti.

[planches/ex8840] centrale PC 2022 Deux joueurs jouent à tirer l’un après l’autre dans leur propre urne des boules avec remises. Dans l’urne du joueur 1, il y a une proportion \(p_1\) de boules rouges. Dans l’urne du joueur 2, il a une proportion \(p_2\) de boules rouges. La partie se joue en plusieurs manches : à la première manche, le joueur 1 tire une boule dans son urne et la remet, à la deuxième manche, le joueur 2 tire une boule dans son urne et la remet et ainsi de suite… Le jeu s’arrête lorsqu’un joueur a tiré une boule rouge.

1. Montrer que le jeu s’arrête presque sûrement.

2. Proposer des proportions \(p_1\) et \(p_2\) de sorte que les joueurs aient autant de chance de gagner chacun.

3. Donner l’espérance du nombre de manches jouées.

[probas/ex1470] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer la variance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).