Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1921] polytechnique, espci PC 2017 Une machine produit deux types de pièces : le type \(A\) avec probabilité \(a\), le type \(B\) avec probabilité \(b=1-a\). Chaque pièce est défectueuse avec une probabilité \(p\), indépendante du type, et indépendamment d’une pièce à l’autre. La machine s’arrête dès qu’elle a produit une pièce du type \(A\).

1. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses au moment de l’arrêt de la machine. Déterminer \(\mathbf{E}(X)\) sans déterminer complètement la loi de \(X\). Commenter.

2. Déterminer la loi de \(X\) et retrouver le résultat précédent.

[examen/ex0565] centrale PC 2023 On dispose d’une pièce donnant pile avec un probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir pile. On note \(N\) le nombre de lancers nécessaires pour obtenir ce premier pile. On lance ensuite \(N\) fois cette pièce et on note \(X\) le nombre de pile obtenus au cours de ces \(N\) lancers.

1. Quelle est la loi de \(N\) ? Donner la loi du couple \((N,X)\).

2. En déduire la loi de \(X\).

3. Soit \(\lambda\in\left]0,1\right[\). Soient \(U\), \(V\) deux variables aléatoires indépendantes telles que \(U\sim\mathscr{B}(\lambda)\) et \(V\sim\mathscr{G}(\lambda)\). Trouver \(\lambda\) tel que \(UV\sim X\).

4. Calculer \(\mathbf{E}(X)\) et \(\mathbf{V}(X)\).

[oraux/ex8395] ensam PSI 2015 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), et pour \(t\in\mathbf{R}\), \(H_Z(t)=\mathbf{P}(Z\geqslant t)\).

1. Montrer que \(H_Z(k-1)-H_Z(k)=\mathbf{P}(Z=k-1)\).

2. Tracer \(H_Z\) pour \(\mathbf{P}(Z=0)=1/6\), \(\mathbf{P}(Z=1)=1/3\) et \(\mathbf{P}(Z=3)=1/2\).

3. Si \(q\) est la valeur maximale de \(Z\), montrer par récurrence décroissante que : \[\sum\limits_{k=n}^qH_Z(k)=\sum\limits_{j=n}^qj\mathbf{P}(X=j)-(n-1)H_Z(n).\]

4. Si \(X\) et \(Y\) sont à valeurs dans \(\mathbf{N}\), montrer que : \(H_X\geqslant H_Y\Longrightarrow\mathbf{E}(X)\geqslant\mathbf{E}(Y)\).

[probas/ex1744] La loi conjointe d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\) est donnée par la formule : \[\mathbf{P}(X=x_i,Y=y_j)=\cases{ {1\over18}(2x_i+y_j)&si $x_i=1$, 2, $y_j=1$, 2,\cr0&sinon.\cr}\] Calculer la variance conditionnelle de \(Y\) sachant \(x_i=2\).

[probas/ex1842] Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi binomiale de paramètres \((n,p)\) et \((m,p)\) respectivement. Soit \(Z=X+Y\) ; à l’aide de la série génératrice des moments de \(Z\), déterminer la loi de \(Z\).

[oraux/ex6003] hec courts S 2014 Soit \(\mathscr{E}\) un ensemble de variables aléatoires discrètes centrées définies sur un même espace probabilisé et admettant une variance.

1. Justifier l’existence de \(V_0=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{V(X),\ X\in\mathscr{E}\}\).

2. On suppose que pour tout \((X_1,X_2)\in\mathscr{E}^2\), on a \(\displaystyle{1\over2}(X_1+X_2)\in\mathscr{E}\).

   Soit \((X_1,X_2)\in\mathscr{E}^2\) avec \(V(X_1)=V(X_2)=V_0\). Montrer que \(X_1=X_2\) presque sûrement.

[probas/ex1090] Des ampoules de type \(i\) fonctionnent pendant une durée aléatoire de moyenne \(\mu_i\) et d’écart-type \(\sigma_i\), \(i=1\), 2. Une ampoule choisie au hasard dans une boîte d’ampoules est de type 1 avec une probabilité \(p\) et de type 2 avec une probabilité \(1-p\). Soit \(X\) la durée de vie de cette ampoule. Trouver \(E(X)\) et \(V(X)\).

[planches/ex5660] ccp PSI 2019 On considère \(2n\) lapins sélectionnés aléatoirement dans un enclos à lapins. La probabilité qu’un lapin soit mâle est \(1/2\). On note \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de lapins mâles obtenus et \(C\) la variable aléatoire égale au le nombre de couples possibles (un lapin mâle \(+\) un lapin femelle).

1. Donner la loi de \(M\).

2. Donner une relation entre \(C\) et \(M\).

3. Donner la loi de \(C\).

4. Calculer l’espérance de \(C\).

[concours/ex4639] escp S 2004 On considère une variable aléatoire \(X\) telle que : \(X(\Omega)=\mathbf{N}\) et \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(P(X=k)=p.q^k\), où \(p\) est un réel fixé de \(\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).

1. Montrer que \(X\) admet des moments de tous ordres et calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

2. On pose \(Y=\displaystyle{1\over X+1}\).

   1. Déterminer la loi de \(Y\).

   2. Montrer que pour \(t\in\left[0,1\right[\) et \(n\in\mathbf{N}\) : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n+1}\displaystyle{t^k\over k}+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)=\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over 1-x}\,dx\).

   3. En déduire que pour \(t\in\left[0,1\right[\), \(\sum\limits\limits_{k=1}^{+\infty}\displaystyle{t^k\over k}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\).

   4. Montrer que \(Y\) admet une espérance et calculer \(E(Y)\).

3. Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(k\) de \(\mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) conditionnée par la réalisation de l’événement \((X=k)\) est uniforme sur \([[0;k]]\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\) (on laissera les résultats sous forme de sommes).

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance.

[probas/ex0010] Soit \((X,Y)\) un couple de V.A.R. à valeurs dans \(\mathbf{N}^2\) tel que : \[\forall(j,k)\in\mathbf{N}^2,\quad P([X=j]\cap[Y=k])={j+k\over e\cdot2^{j+k}j\,!\,k\,!}.\]

1. Vérifier que l’on a bien défini ainsi la loi de probabilité de \((X,Y)\).

2. Calculer \(E(2^{X+Y})\).

[planches/ex8157] mines MP 2022 Soient \(X\), \(Y\) deux variables indépendantes à valeurs dans \(\mathbf{N}\). On suppose que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(\mathbf{P}(Y=k)>0\), et que \(\mathbf{E}(Y)<\infty\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on définit la variable aléatoire \(Z_n\) par \(Z_n(\omega)=X(\omega)\) si \(Y(\omega)\leqslant n\) et \(Z_n(\omega)=Y(\omega)\) sinon. Montrer que la suite \(\mathbf{E}(Z_n)\) possède une valeur maximale pour au plus deux valeurs de \(n\).

[probas/ex1467] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).

[concours/ex4746] escp S 2003

Pour \(m\geqslant 1\), on considère une série statistique \((M_i)_{1\leqslant i\leqslant m}\) à deux variables. La première variable est notée \(Z\), la seconde \(T\) et on écrit \(M_i(z_i,t_i)\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,m\}\).

Pour les applications numériques on prend \(\overline{Z}=\overline{T}=10\), \(V(Z)=V(T)=9\) et \({\rm cov}(Z,T)=4\) et on pose \(A=\left(\begin{array}{cc}9&4\\ 4&9\end{array}\right)\).

On identifie les éléments de \(\mathbf{R}^2\) et de \({\cal M}_{2,1}(\mathbf{R})\).

1. 1. Diagonaliser \(A\) dans une base orthonormale \((e_1,e_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) pour le produit scalaire usuel.

      Déterminer une matrice \(P\) de \({\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}={}^tP\) et \(^tPAP\) soit diagonale.

   2. Pour tout \((x,y)\) de \(\mathbf{R}^2\) on pose \(f(x,y)= \left(\begin{array}{cc}x&y\end{array}\right)\times A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\).

      Montrer que l’application \((x,y)\mapsto \displaystyle{f(x,y)\over x^2+y^2}\) admet un minimum et un maximum sur \(E=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), extremums que l’on déterminera (on pourra travailler dans la base \((e_1,e_2)\)).

   3. En déduire les \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbf{R}^2\) tels que \(\alpha^2+\beta^2=1\) qui donnent une série statistique \(\alpha\,Z+\beta\,T\) de variance maximale ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale. Déterminer les extremums.

   4. Si l’on appelle \(u_1=(\alpha_1,\beta_1)\) un couple qui donne une série statistique de variance minimale, déterminer une équation de la droite passant par le point moyen de la série et dirigée par ce vecteur.

      Montrer que cette droite est celle qui réalise le minimum de la somme des carrés des distances des points \(M_i\) à une droite \(\Delta\) passant par le point moyen \(\Omega(\overline Z,\overline T)\), d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\) dans le plan \(\mathbf{R}^2\) muni de sa structure euclidienne canonique (on pourra utiliser la formule \(d(M_i,\Delta)=\displaystyle{|\alpha\,z_i+\beta\,t_i+c|\over\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\) qui donne la distance d’un point \(M_i\) à la droite \(\Delta\) d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\)).

      Qu’en est-il si l’on n’impose plus à la droite de passer par \(\Omega\) ?

2. Déterminer les \((\alpha,\beta)\) tels que \(\alpha\geqslant 0\), \(\beta\geqslant 0\) et \(\alpha+\beta=1\) pour lesquels la série statistique \(\alpha Z+\beta T\) admet une variance maximale que l’on déterminera ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale.

[probas/ex1077] On lance plusieurs fois un dé équilibré. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de jets nécessaires pour obtenir un 6 et un 5, respectivement. Trouver :

1. \(E(X)\) ;

2. \(E(X/Y=1)\) ;

3. \(E(X/Y=5)\).

[probas/ex0169] hec 1995 On considère un entier naturel \(n\) non nul, un réel \(p\) de \(\left]0,1\right[\) ; \(X\) est une variable aléatoire avec \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\).

Les valeurs prises par \(X\) sont affichées par un compteur défaillant ; lorsqu’il doit afficher 0, il affiche en fait au hasard un nombre compris entre 1 et \(n\) ; sinon il affiche le bon résultat.

Soit \(Y\) la variable aléatoire correspondant au numéro affiché par le compteur. Donner la loi de \(Y\) et \(E(Y)\).

[concours/ex5134] escp B/L 1999 Une urne contient trois jetons numérotés 1, 2, 3 indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages d’un jeton de cette urne, en replaçant à chaque fois le jeton obtenu, avant le tirage suivant.

1. On note \(Y\) le nombre aléatoire de tirages juste nécessaire pour obtenir, pour la première fois, deux numéros différents. Déterminer la loi de \(Y\) et son espérance.

2. On note \(Z\) le nombre aléatoire de tirages juste nécessaire pour obtenir, pour la première fois, les trois numéros.

   1. Déterminer la loi du couple \((Z,Y)\).

   2. Déterminer la loi de \(Z\) et calculer son espérance.

[oraux/ex8341] mines PSI 2015

1. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles telles que \(X^2\) et \(Y^2\) admettent une espérance. Montrer que \(XY\) admet une espérance.

2. Soient \(a\in[0,1]\) et \(X\) une variable aléatoire positive admettant une espérance. Montrer l’inégalité \((1-a)\mathbf{E}(X)\leqslant\mathbf{E}(X.\mathbf1_{X\geqslant a\mathbf{E}(X)})\).

[planches/ex7419] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. On suppose que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) avec \(p\in\left]0,1\right[\) et que \(Y\) suit la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,n\}\).

On définit la variable aléatoire \(Z\) par \(\forall\omega\in\Omega\), \(Z(\omega)=\cases{X(\omega)&si $X(\omega)\neq0$\cr Y(\omega)&si $X(\omega)=0$.}\)

Déterminer la loi de \(Z\) et son espérance.

[probas/ex2054] On effectue un tirage avec remise de deux nombres entre 1 et 5. Soit \(X=0\) si le premier nombre tiré est pair et \(X=1\) sinon ; et \(Y=1\) si le deuxième nombre est impair et \(Y=0\) sinon. On pose \(Z=X+Y\).

1. Donner la loi de \(Z\).

2. Calculer \(\mathbf{E}(Z)\), et vérifier que \(\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(X)+\mathbf{E}(Y)\).

3. Calculer \(\mathbf{V}(X)\), \(\mathbf{V}(Y)\) et \(\mathbf{V}(Z)\), et comparer \(\mathbf{V}(Z)\) à \(\mathbf{V}(X)+\mathbf{V}(Y)\).

[concours/ex5183] escp S 2007 On dispose d’une pièce de monnaie donnant « pile » avec la probabilité \(p\) et « face » avec la probabilité \(q=1-p\) (avec \(p\in\left]0,1\right[\)).

On lance cette pièce, les lancers étant indépendants les uns des autres, et on note \(N\) le nombre aléatoire de lancers nécessaires à la première apparition de « pile » (on pose \(N=-1\) si « pile » n’apparaît jamais).

Quand « pile » apparaît au bout de \(n\) lancers, on effectue une série de \(n\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de « pile » obtenus au cours de cette série.

1. Quelle est la loi de \(N\) ?

2. Déterminer la loi du couple \((N,X)\).

3. Calculer \(P(X=0)\) et \(P(X=1)\).

4. Pour tout entier naturel \(k\) non nul, exprimer \(P(X=k)\) sous forme d’une série.

5. Calculer la somme de cette série.

   On rappelle que si \(|x|<1\) alors \(\displaystyle \sum\limits\limits_{k=r}^{+\infty}{k\choose r}x^{k-r}=\displaystyle{1\over(1-x)^{r+1}}\)

6. Déterminer l’espérance de \(X\) par deux méthodes : une première fois par calcul direct, une deuxième en utilisant la formule de l’espérance totale. Pourquoi ce résultat est-il raisonnable ?