[oraux/ex8315] polytechnique MP 2015 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé et à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On suppose \(Y\) d’espérance finie.
[oraux/ex8315]
Montrer qu’il existe une fonction \(g:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(g(X)\) soit d’espérance finie et, pour toute fonction \(f:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) bornée, on ait \(\mathbf{E}(Yf(X))=\mathbf{E}(g(X)f(X))\).
Montrer que \(g\) est unique à un ensemble de probabilité nulle (pour la loi de \(X\)) près.
[planches/ex2161] mines MP 2017 Soient \(p\in[0,1]\) et \(q=1-p\). On définit \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires à valeurs entières telles que, pour tout \((m,n)\in\mathbf{N}^2\), on ait \(\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{m+n}\).
[planches/ex2161]
Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\). Calculer \(\mathbf{E}(X+Y)\).
Calculer \(\mathbf{P}(X\leqslant k)\) pour \(k\in\mathbf{N}\).
On note \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).
Trouver la loi de \(Z\) et calculer son espérance.
Calculer \(\mathbf{E}(|X-Y|)\).
Déterminer la loi de \(T\).
Déterminer la loi de \((X,Z)\) et retrouver la loi de \(Z\).
Déterminer \(\mathbf{P}(X+Y=m)\) pour \(m\in\mathbf{N}\).
[planches/ex4848] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) ont même loi.
[planches/ex4848]
Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi ne prenant qu’un nombre fini de valeurs. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles ne prenant qu’un nombre fini de valeurs.
Montrer que \(F_X:t\longmapsto\mathbf{E}(e^{itX})\) définit une fonction sur \(\mathbf{R}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(F_X\) pour que \(X\) soit symétrique.
On suppose \(X\) symétrique. Soit \(\varepsilon\) une variable indépendante de \(X\) telle que : \[\mathbf{P}(\varepsilon=1)=\mathbf{P}(\varepsilon=-1)=1/2.\] Montrer que \(\varepsilon X\) et \(X\) ont même loi.
[planches/ex1599] ens PSI 2017 Un questionnaire comporte 20 questions. Pour chaque question, \(k\) réponses sont possibles dont une seule est bonne. Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.
[planches/ex1599]
Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points obtenus par le candidat à ce questionnaire. Déterminer la loi de \(X\).
À chaque question, si le candidat s’est trompé, il a droit à une seconde chance et peut choisir une autre réponse parmi celles qui restent. Il gagne alors \(1/2\) point en cas de bonne réponse. Soit \(Y\) le nombre de \(1/2\) points obtenus, déterminer la loi de \(Y\).
Déterminer \(k\) pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.
[oraux/ex8489] mines MP 2016 Soient \(p\), \(q\) deux réels, \(X\), \(Y\) deu variables aléatoires entières et \({}\geqslant 0\) telles que : \[\forall(m,n)\in\mathbf{N}^2,\qquad\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{n+m}.\]
[oraux/ex8489]
À quelles conditions sur le couple \((p,q)\) la relation précédente définit-elle bien la loi conjointe de \((X,Y)\) ?
Déterminer alors les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), l’espérance de \(X+Y\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_X(k)=\mathbf{P}(X\leqslant k)\).
On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_Z(k)=\mathbf{P}(Z\leqslant k)\). En déduire la loi de \(Z\) ainsi que son espérance.
Déterminer l’espérance de \(|X-Y|\).
[oraux/ex8325] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(\Omega\) un univers fini muni d’une probabilité \(\mathbf{P}\). Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, on dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) suivent la même loi.
[oraux/ex8325]
Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables indépendantes suivant la même loi. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On pose \(f_X:t\mapsto\mathbf{E}(e^{itX})\). Montrer que \(f_X\) détermine entièrement la loi de \(X\). Si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), donner une condition nécessaire et suffisante sur \(f_X\) pour que \(X\) soit symétrique.
[planches/ex3306] polytechnique MP 2018 Sur un même espace probabilisé, on considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), dont \(X\) à valeurs dans \(\mathbf{R}\) et d’espérance finie, et \(Y\) à valeurs dans un ensemble \(A\).
[planches/ex3306]
Montrer qu’il existe une fonction \(h:A\rightarrow\mathbf{R}\) telle que, pour toute fonction bornée \(g:A\rightarrow Y\), on ait \(\mathbf{E}(Xg(Y))=\mathbf{E}(h(Y)g(Y))\). Montrer l’unicité d’une telle fonction sous réserve que \(\mathbf{P}(Y=y)>0\) pour tout \(y\in A\). On fait cette hypothèse dans la suite de l’énoncé.
Montrer que, pour tout \(y\in A\), le réel \(h(y)\) est l’espérance de la variable aléatoire \(X\) pour la loi de probabilité conditionnelle \(\mathbf{P}(Y=y)\).
On se donne ici deux variables aléatoires indépendantes \(X_1\) et \(X_2\) suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\). On se donne \(f:\mathbf{N}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(X=f(X_1)\) soit d’espérance finie. On pose \(Y=X_1+X_2\). Expliciter dans ce cas la variable aléatoire \(h(X)\) où \(h\) est précisée dans la première question.
[oraux/ex8353] mines PC 2015 Un QCM comporte 20 questions. Pour chacune des questions, il y a \(k\) réponses possibles. On obtient un point par bonne réponse. On répond au hasard, on note \(X\) le nombre de points obtenus. On nous rend le QCM dans lequel on peut modifier les réponses fausses ; on obtient un demi-point pour chaque nouvelle réponse juste obtenue (réponse au hasard parmi les \((k-1)\) restantes). Soit \(Y\) le nombre de points obtenus la deuxième fois.
[oraux/ex8353]
Déterminer la loi de \(X\).
Déterminer l’espérance de \(Y\). Déterminer \(k\) pour que \(\mathbf{E}(Y)=5\).
[planches/ex7292] centrale PC 2021 On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir Pile. Si Pile apparait pour la première fois au \(N\)-ième lancer, on effectue une série de \(N\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de cette deuxième série de lancers.
[planches/ex7292]
Déterminer la loi de \(N\).
Déterminer la loi du couple \((N,X)\).
Déterminer la loi de \(X\) et son espérance.
[oraux/ex6359] escp courts 2016 On utilise une pièce de monnaie qui donne pile avec la probabilité \(p \in\left]0,1\right[\).
[oraux/ex6359]
On commence par lancer la pièce jusqu’à obtenir une première fois Pile et on note \(N\) le nombre de lancers nécessaires. Si le premier Pile a été obtenu au \(n\)-ième lancer, on lance ensuite cette même pièce \(n^2\) fois et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de ces \(n^2\) lancers.
Quelle est la loi suivie par \(N\) ? Donner l’espérance et la variance de \(N\).
Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant l’événement \((N=n)\).
En déduire l’existence et la valeur de l’espérance de \(X\).
[probas/ex1059] Une bouteille contient initialement \(m\) grandes pilules et \(n\) petites pilules. Chaque jour un patient choisit au hasard une des pilules. S’il choisit une petite pilule, il l’avale. S’il en choisit une grande, il la coupe en deux, il en remet une part (considérée maintenant comme une petite pilule) dans la bouteille et avale l’autre.
[probas/ex1059]
Soit \(X\) le nombre de petites pilules dans la bouteille après que la dernière grande pilule a été choisie et que sa petite moitié a été replacée. Trouver \(E(X)\).
Indication : on pourra définir \(n+m\) variables indicatrices, une pour chaque petite pilule présente initialement et une pour chacune des \(m\) petites pilules crées en coupant une grande.
Soit \(Y\) le jour où la dernière grande pilule est choisie. Trouver \(E(Y)\).
Indication : on pourra chercher une relation entre \(X\) et \(Y\).
[planches/ex8266] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur \([[1,n]]\). Soit \(m\in[[1,n]]\). Soit \(Z\) telle que \(Z=X\) si \(Y\leqslant m\), et \(Z=Y\) sinon.
[planches/ex8266]
Déterminer la loi de \(Z\).
Calculer les espérances de \(X\), \(Y\) et \(Z\).
Pour quels entiers \(m\in[[1,n]]\) l’espérance \(\mathbf{E}(Z)\) est-elle maximale ?
[concours/ex4638] escp S 2004
[concours/ex4638]
Compléter les lignes de programme suivantes pour en faire un programme complet :
randomize; N:=random(m)+1;X:=0; For i:=1 to N Do X:=X+random(2); Writeln(N,’ ’,X);
randomize;
N:=random(m)+1;X:=0;
For i:=1 to N Do X:=X+random(2);
Writeln(N,’ ’,X);
(on rappelle que lorsque \(a\) est un integer, random(a) renvoie une valeur integer au hasard comprise entre 0 et \(a-1\), et que la procédure randomize permet d’initialiser la fonction random.)
integer
random(a)
randomize
random
On suppose que la première valeur affichée est \(4\). Quelles sont les valeurs possibles pour la seconde valeur affichée ?
On suppose que le programme précédent simule une expérience aléatoire. Quelle est alors la loi suivie par la variable aléatoire simulée par \(N\), son espérance, sa variance ?
Préciser \(X(\Omega)\) et calculer, pour tout couple \((i,k)\), \(P(X=i/N=k)\). En déduire la loi de \(X\).
Déterminer l’espérance de \(X\).
[planches/ex4225] escp S 2018
[planches/ex4225]
On rappelle les résultats suivants :
Soit \(I\) un ensemble dénombrable infini indexé par \(\mathbf{N}\) sous la forme \(I=\{\phi(n),\ n\in\mathbf{N}\}\), où \(\phi\) est une bijection de \(\mathbf{N}\) dans \(I\). Si la série \(\displaystyle\sum\limits u_{\phi(n)}\) converge absolument, alors sa somme est indépendante de l’indexation \(\phi\), et pourra également être notée \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\). On dit alors que la série \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) converge absolument.
Dans ce cas, si \(\displaystyle I=\bigsqcup_{j\in J}I_j\) (union disjointe) avec \(J\) un ensemble dénombrable et \(I_j\) des ensembles dénombrables pour tout \(j\), alors pour tout \(j\), \(\displaystyle\sum\limits_{k\in I_j}u_k\) converge absolument, et \[\sum\limits_{i\in I}u_i=\sum\limits_{j\in J}\left[\sum\limits_{k\in I_j}u_k\right].\]
Si \(I\) et \(J\) sont des ensembles dénombrables et si \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\in J}v_j\) sont absolument convergentes, alors \(\displaystyle\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\) aussi, et \[\left(\sum\limits_{i\in I}u_i\right)\left(\sum\limits_{j\in J}v_j\right)=\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\]
On prendra soin de justifier clairement, à l’aide de ces résultats, les calculs de sommes de séries qu’on sera amené à faire ci-dessous.
Soit \(p\) et \(q\) deux réels de l’intervalle \(\left]0,1\right[\).
Vérifier que : \(\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2\), \(\mathbf{P}[(i,j)]=p\,q\,(1-p)^i\,(1-q)^j\) définit bien une probabilité \(\mathbf{P}\) sur \(\mathbf{N}^2\).
Déterminer les lois des variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\) définies sur \(\left(\vphantom{|_|}\smash{\mathbf{N}^2,\mathscr{P}(\mathbf{N}^2),\mathbf{P}}\right)\) par \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad X(i,j)=i\quad\hbox{et}\quad Y(i,j)=j\] et les relier à des lois connues.
Calculer \(\mathbf{P}(X=Y)\) et \(\mathbf{P}(X>Y)\).
Soit \(Z\) la variable aléatoire discrète définie par : \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad Z(i,j)=\cases{\phantom{-}1&si $i$ et $j$ sont pairs,\cr-1&si $i$ et $j$ sont impairs,\cr\phantom{-}0&si $i$ et $j$ sont de parités différentes.}\] Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.
Soit \(D\) l’ensemble défini par \(D=\left\{\vphantom{|_|}(i,i),\ i\in\mathbf{N}\right\}\). Justifier que la série \(\displaystyle\sum\limits_{(i,i)\in D}Z(i,i)\,\mathbf{P}(i,i)\) est absolument convergente et calculer sa somme.
[probas/ex0010] Soit \((X,Y)\) un couple de V.A.R. à valeurs dans \(\mathbf{N}^2\) tel que : \[\forall(j,k)\in\mathbf{N}^2,\quad P([X=j]\cap[Y=k])={j+k\over e\cdot2^{j+k}j\,!\,k\,!}.\]
[probas/ex0010]
Vérifier que l’on a bien défini ainsi la loi de probabilité de \((X,Y)\).
Calculer \(E(2^{X+Y})\).
[concours/ex6693] escp S 2008 Un vendeur de cycles vend des pédales de bicyclette qu’il se procure chez son grossiste par boîtes de deux ; toutes les boîtes sont supposées identiques et dans chaque boîte il y a une pédale droite et une pédale gauche.
[concours/ex6693]
Lorsqu’un client demande le remplacement de ses deux pédales de vélo, le commerçant lui vend une boîte complète et lui fait payer la somme de \(2r\) euros.
Lorsqu’un client demande le remplacement d’une seule des deux pédales, le commerçant décide de ne pas obliger le client à acheter une boîte complète, mais majore le prix de la pédale dans une proportion \(\alpha\), c’est-à-dire lui fait payer la somme de \((1 + \alpha)r\) euros.
Pour la simplicité de l’étude, on suppose que l’on sait que le nombre de pédales à poser séparément pendant la durée de l’étude vaut \(2n\), où \(n\) est un entier naturel non nul. On suppose que le vendeur ne dispose au départ que de boîtes complètes et en nombre suffisant.
Soit \(p\) la probabilité qu’une demande d’un client qui ne demande qu’une pédale corresponde à une pédale droite (\(p\) n’est pas nécessairement égal à \(1/2\)) et \(X\) le nombre de boîtes nécessaires à la satisfaction de ces \(2n\) demandes. (le commerçant n’ouvre une boîte que s’il ne dispose pas d’une boîte entamée lui permettant d’accéder à la demande du client)
Quelle est la loi de \(X\) ? On précisera l’ensemble des valeurs prises par \(X\).
Montrer que \(X\) peut s’écrire : \(X=a+\left|Y-b\right|\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes qu’on précisera et \(Y\) une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.
Donner l’expression l’espérance de \(E(X)\) en fonction de \(n\) et \(p\).
Dans la suite, on prendra la valeur \(p=1/2\).
Quelle majoration \(\alpha\) le marchand de cycles doit-il appliquer au prix de chaque pédale vendue séparément pour qu’en moyenne le prix de vente des \(2n\) pédales vendues séparément soit égal au prix de vente des \(X\) boîtes nécessaires vendues \(2r\) euros chacune.
La valeur \(\alpha\) trouvée dépend de \(n\) et on la note dorénavant \(\alpha_n\). Prouver que la suite \((\alpha_n)\) est décroissante. Donner un équivalent simple de \(\alpha_n\) et la limite de \(\alpha_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
\([[\)On admettra la formule de Stirling : \(n\,!\sim\sqrt{2\pi n}\big(\displaystyle{n\over e}\big)^{n}\) \(]]\)
[concours/ex4746] escp S 2003
[concours/ex4746]
Pour \(m\geqslant 1\), on considère une série statistique \((M_i)_{1\leqslant i\leqslant m}\) à deux variables. La première variable est notée \(Z\), la seconde \(T\) et on écrit \(M_i(z_i,t_i)\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,m\}\).
Pour les applications numériques on prend \(\overline{Z}=\overline{T}=10\), \(V(Z)=V(T)=9\) et \({\rm cov}(Z,T)=4\) et on pose \(A=\left(\begin{array}{cc}9&4\\ 4&9\end{array}\right)\).
On identifie les éléments de \(\mathbf{R}^2\) et de \({\cal M}_{2,1}(\mathbf{R})\).
Diagonaliser \(A\) dans une base orthonormale \((e_1,e_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) pour le produit scalaire usuel.
Déterminer une matrice \(P\) de \({\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}={}^tP\) et \(^tPAP\) soit diagonale.
Pour tout \((x,y)\) de \(\mathbf{R}^2\) on pose \(f(x,y)= \left(\begin{array}{cc}x&y\end{array}\right)\times A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\).
Montrer que l’application \((x,y)\mapsto \displaystyle{f(x,y)\over x^2+y^2}\) admet un minimum et un maximum sur \(E=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), extremums que l’on déterminera (on pourra travailler dans la base \((e_1,e_2)\)).
En déduire les \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbf{R}^2\) tels que \(\alpha^2+\beta^2=1\) qui donnent une série statistique \(\alpha\,Z+\beta\,T\) de variance maximale ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale. Déterminer les extremums.
Si l’on appelle \(u_1=(\alpha_1,\beta_1)\) un couple qui donne une série statistique de variance minimale, déterminer une équation de la droite passant par le point moyen de la série et dirigée par ce vecteur.
Montrer que cette droite est celle qui réalise le minimum de la somme des carrés des distances des points \(M_i\) à une droite \(\Delta\) passant par le point moyen \(\Omega(\overline Z,\overline T)\), d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\) dans le plan \(\mathbf{R}^2\) muni de sa structure euclidienne canonique (on pourra utiliser la formule \(d(M_i,\Delta)=\displaystyle{|\alpha\,z_i+\beta\,t_i+c|\over\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\) qui donne la distance d’un point \(M_i\) à la droite \(\Delta\) d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\)).
Qu’en est-il si l’on n’impose plus à la droite de passer par \(\Omega\) ?
Déterminer les \((\alpha,\beta)\) tels que \(\alpha\geqslant 0\), \(\beta\geqslant 0\) et \(\alpha+\beta=1\) pour lesquels la série statistique \(\alpha Z+\beta T\) admet une variance maximale que l’on déterminera ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale.
[planches/ex5507] centrale PC 2019 On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Après chaque lancer, on continue le jeu ou on s’arrête avec probabilité \(1/2\). Soit \(N\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués, \(X\) (resp. \(Y\)) la variable aléatoire égale au nombre de pile (resp. face).
[planches/ex5507]
Déterminer la loi de \(N\) ainsi que son espérance.
Montrer que \(X\) est d’espérance finie et calculer son espérance.
[planches/ex5660] ccp PSI 2019 On considère \(2n\) lapins sélectionnés aléatoirement dans un enclos à lapins. La probabilité qu’un lapin soit mâle est \(1/2\). On note \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de lapins mâles obtenus et \(C\) la variable aléatoire égale au le nombre de couples possibles (un lapin mâle \(+\) un lapin femelle).
[planches/ex5660]
Donner la loi de \(M\).
Donner une relation entre \(C\) et \(M\).
Donner la loi de \(C\).
Calculer l’espérance de \(C\).
[probas/ex2320] Vrai ou faux ?
[probas/ex2320]
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires admettant une variance.
Alors \(\mathbf{V}(X-Y)=\mathbf{V}(X)-\mathbf{V}(Y)-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(X,Y)\).
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