[probas/ex1040] Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes, ayant autant de chances l’une et l’autre de prendre n’importe quelle valeur parmi 1, 2, … , \(m\). Montrer que : \[E(|X-Y|)={(m-1)(m+1)\over3m}.\]
[probas/ex1040]
[oraux/ex8523] mines PC 2016 Soient \(X_n\) et \(Y_n\) deux variables aléatoires suivant des lois uniformes sur \([[1,n]]\) et indépendantes. On pose \(Z_n=|X_n-Y_n|\) et \(T_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_n,Y_n)\). Calculer \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\). Déterminer des équivalents de \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex8523]
[planches/ex3594] mines MP 2018
[planches/ex3594]
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). Calculer \(\mathbf{E}(1/X)\).
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\). Calculer \(\displaystyle\mathbf{E}\left({1\over1+X}\right)\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\). Déterminer \(\mathbf{E}(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\})\).
[planches/ex2585] centrale PSI 2017 Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On se donne une pièce qui tombe sur pile avec la probabilité \(p\). On la lance jusqu’à obtenir deux fois pile et on note \(X\) le nombre de faces obtenues.
[planches/ex2585]
Donner la loi de \(X\).
Montrer l’existence et donner la valeur de l’espérance de \(X\).
Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne. On pioche une boule au hasard et \(Y\) désigne le numéro de la boule piochée. Donner la loi de \(Y\) et son espérance.
[oraux/ex8547] centrale PSI 2016 (avec Python)
[oraux/ex8547]
Python
Deux amis se sont donné rendz-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires suivant la loi uniforme sur \([[0,59]]\).
À quoi correspond la variable \(T=|X-Y|\) ?
Donner la loi de \(T\).
Écrire une fonction rdv(n) qui renvoie les résultats de \(n\) simulations de \(T\).
rdv(n)
Calculer l’espérance exacte de \(T\).
Donner une approximation de l’espérance avec Python. Commenter l’écart.
On pose \(n=10^5\). Écrire un programme qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide du programme rdv(n). Commenter les écarts.
[probas/ex0007] On jette une pièce de monnaie jusqu’à ce qu’on obtienne pile pour la deuxième fois. On suppose qu’à chaque lancer de la pièce, la probabilité d’obtenir pile est \(p\), \(p\in\left]0,1\right[\).
[probas/ex0007]
On note \(X\) le nombre de faces obtenues avant d’obtenir pile pour la deuxième fois.
Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne et on tire au hasard l’une de ces boules. On note alors \(Y\) le numéro de la boule tirée.
Quelle est la loi de \(X\) ? \(X\) admet-elle une espérance ? Si oui la calculer.
\(Y\) admet-elle une espérance ? La calculer.
[planches/ex8154] mines MP 2022 Soient \(X_1\) et \(X_2\) des variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). On pose \(X=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_1,X_2)\) et \(Y=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X_1,X_2)\). Déterminer les espérances de \(X\) et \(Y\).
[planches/ex8154]
[planches/ex8634] centrale PSI 2022 (avec Python)
[planches/ex8634]
Deux amis se sont donné rendez-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur \(\{0,\ldots,59\}\).
Calculer la valeur exacte de l’espérance de \(T\).
On pose \(n=10^5\). Donner une fonction qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide de la fonction rdv. Commenter les écarts.
rdv
On découpe une heure en \(N\) divisions de temps. Donner un équivalent de la probabilité que les amis arrivent en même temps lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex6078] escp S 2014 Toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\).
[oraux/ex6078]
Soit \(N\in\mathbf{N}^*\).
Le programme d’un examen est constitué de \(N\) questions dont \(n\) (différentes) sont tirées au hasard pour constituer l’épreuve. Chacune de ces \(n\) questions fait l’objet d’un questionnaire à choix multiples (QCM) ; chaque question comporte 4 réponses dont une seule est juste ; donner une réponse juste rapporte \(1\) point et une réponse fausse rapporte \(0\) point.
Un candidat donné connaît une proportion \(p\) des réponses aux questions du programme ; on note \(X\) le nombre de questions de l’examen dont le candidat connaît la réponse et auxquelles il répondra donc correctement ; pour les autres questions, le candidat « tentera sa chance » en donnant une réponse au hasard à la question posée. On note \(Y\) la note de ce candidat.
Déterminer la loi de \(X\) et donner son espérance.
Pour \(n\) et \(p\) fixés, par quelle loi peut-on approcher celle de \(X\) lorsque \(N\) tend vers l’infini ?
Donner la variance de cette loi approchée. Dans la suite, on utilisera cette approximation pour évaluer \(V(X)\).
Pour tout \(k\in[[ 0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y-X\) sachant que \((X=k)\) est réalisé, préciser son espérance \(E(Y-X|X=k)\) et sa variance \(V(Y-X|X=k)\).
Déterminer l’espérance de \(Y\).
Pour tout \(k\in [[0,n ]]\), montrer que :
\(E((Y-E(Y))^2|X=k)=E((Y-E(Y|X=k))^2|X=k)+(E(Y|X=k)-E(Y))^2\).
En déduire que la variance de \(Y\) vaut : \(V(Y)=\displaystyle{n(1-p)\over16}(3+9p)\).
[planches/ex7834] polytechnique PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(U=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(V=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex7834]
Trouver les lois de \(U\) et \(V\).
Trouver la loi de \((U,V)\).
Trouver la loi de \(U+V\) et son espérance.
[planches/ex8261] mines PSI 2022 Soient \(X\), \(Y\) des variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). On pose \(M=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex8261]
Justifier que \(M\) est une variable aléatoire.
Déterminer la loi de \(M\).
Déterminer l’espérance et la variance de \(M\) en utilisant \(m=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex7417] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres respectifs \(p_1\in\left]0,1\right[\) et \(p_2\in\left]0,1\right[\).
[planches/ex7417]
Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).
Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex8149] mines MP 2022 On joue à Pile ou Face, on note \(p\in\left]0,1\right[\) la probabilité de tirer Pile. On note \(Z\) la variable aléatoire donnant le rang du premier Pile. Si \(Z=k\), on remplit une urne de \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\), et on tire une boule au hasard. On note \(X\) la variable donnant le numéro de la boule tirée. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X\).
[planches/ex8149]
[oraux/ex6189] escp S 2015 Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\).
[oraux/ex6189]
On effectue des tirages successifs et sans remise d’une boule de cette urne jusqu’à obtenir la boule numérotée \(n\). On note \(X_1\) le nombre de tirages ainsi effectués.
Déterminer la loi de \(X_1\) et son espérance.
Les deux questions suivantes étudient deux prolongements possibles de l’expérience à l’issue de cette première série de tirages.
Après cette première série de tirages, on continue de sortir les boules de l’urne jusqu’à obtenir la boule de plus grand numéro parmi les numéros restants. On note \(X_2\) le nombre de nouveaux tirages ainsi effectués (si à l’issue de la première série de tirages l’urne est vide, on décide que \(X_2\) prend alors la valeur \(0\)).
Déterminer la loi de \(X_2\) et vérifier que \(\sum\limits_{j=0}^{n-1}P(X_2=j)=1\).
Les variables aléatoires \(X_1\) et \(X_2\) sont-elles indépendantes ?
Calculer l’espérance de \(X_2\).
Après cette première série de tirages, s’il reste au moins une boule dans l’urne, on tire une boule au hasard et on note \(X_3\) le numéro obtenu (si l’urne est vide on convient que \(X_3\) prend la valeur \(0\)).
Déterminer la loi du couple \((X_1,X_3)\).
Déterminer la loi de \(X_3\).
[probas/ex0001] Dans une urne, on place \(n\) boules portant des numéros 2 à 2 distincts.
[probas/ex0001]
Un premier joueur effectue des tirages d’une boule sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro.
On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.
S’il reste des boules dans l’urne, un second joueur effectue la même expérience sur les boules restantes.
On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur.
Déterminer la loi de \(X_1\) et \(E(X_1)\).
Déterminer la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).
Calculer \(E(X_2)\).
[concours/ex4727] escp S 2003 On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées portant des numéros deux à deux distincts.
[concours/ex4727]
Un premier joueur effectue dans l’urne des tirages sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro. On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.
S’il reste des boules dans l’urne, un deuxième joueur effectue la même expérience (c’est-à-dire qu’il effectue des tirages sans remise jusqu’à obtenir la boule de plus grand numéro parmi celles présentent au moment où il entre en jeu).
On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur (nombre qui vaut éventuellement 0).
Donner la loi, l’espérance et la variance de \(X_1\).
Donner la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).
En déduire que pour \(1\leqslant k\leqslant n-1\), \(P(X_2=k)=\displaystyle{1\over n}\sum\limits_{i=k}^{n-1}{1\over i}\), puis donner la loi de \(X_2\).
Calculer l’espérance \(E(X_2)\).
Écrire un programme Pascal choisissant et affichant \(n\) numéros distincts entre 1 et 100, (\(n\) est entré au clavier) puis calculant \(X_1\) et \(X_2\), si l’on suppose que les tirages sont effectués dans l’ordre choisi par l’ordinateur. On pourra s’aider des lignes de programme suivantes, après avoir expliqué ce qu’elles font : REPEAT b[i] := RANDOM(100)+1; a := 0; FOR j :=1 TO i-1 DO IF b[i]=b[j] THEN a := a+1; UNTIL a=0;
REPEAT b[i] := RANDOM(100)+1;
a := 0;
FOR j :=1 TO i-1 DO
IF b[i]=b[j] THEN a := a+1;
UNTIL a=0;
(on rappelle que RANDOM(100) retourne au hasard une valeur entre 0 et 99.)
RANDOM(100)
[planches/ex7895] polytechnique, espci PC 2022 On lance une pièce équilibrée autant de fois qu’il le faut avant de tomber sur pile. On note \(n\) le nombre total de lancers puis on tire aléatoirement un entier de 1 à \(n\) avec probabilité uniforme. On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre ainsi tiré.
[planches/ex7895]
Calculer \(\mathbf{P}(X=1)\).
Calculer l’espérance puis la variance de \(X\).
[oraux/ex8390] centrale PC 2015 (avec Python)
[oraux/ex8390]
Une urne contient des boules numérotées de 1 à \(n\). Le premier joueur tire des boules de l’urne sans remise. Il s’arrête lorsqu’il obtient la boule portant le numéro \(n\). On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par le premier joueur. Le deuxième joueur effectue des tirages sans remise jusquà ce qu’il obtienne la boule de numéro maximal restant dans l’urne. On note \(X_2\) le nombre de tirages effetcués par le deuxième joueur. On pose \(X_2=0\) si \(X_1=n\).
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X_1\).
Déterminer \(\mathbf{P}(X_2=k|X_1=j)\). En déduire la loi de \(X_2\) ainsi que son espérance.
Écrire une fonction simulant \(X_1\) et \(X_2\).
[concours/ex4920] escp S 2001 Dans cet exercice, \(\Omega\) désigne un ensemble fini non vide, \({\cal P}(\Omega )\) l’ensemble des parties de \(\Omega\) et \((\Omega, {\cal P}(\Omega ), P)\) un espace probabilisé.
[concours/ex4920]
On note \({\cal F}\) l’ensemble des applications de \(\Omega\) dans \(\mathbf{R}\). Si \(X \in {\cal F}\), on note \(E(X)\) l’espérance de la variable aléatoire \(X\).
Si \(A\) est une partie de \(\Omega\), on note \(1_A\) la fonction caractéristique de \(A\), c’est-à-dire l’application définie pour tout \(\omega \in \Omega\) par : \[1_A(\omega)= \cases{1 & si $ \omega \in A$\cr 0 & sinon.\cr }\]
Soit \(A \subset \Omega\). Calculer \(E(1_A)\).
Montrer que l’application \(\varphi\) définie sur \({\cal F}\times {\cal F}\) par : \(\varphi~: (X,Y) \mapsto E(XY)\), est un produit scalaire sur \({\cal F}\) si et seulement si pour tout \(\omega \in \Omega,\ P(\{\omega\}) > 0\).
Dans la suite de l’exercice, on supposera que \(P\) vérifie cette propriété et \({\cal F}\) sera muni de ce produit scalaire.
Soit \(X \in {\cal F}\) une variable aléatoire non constante.
On note \(G\) le sous-espace vectoriel de \({\cal F}\) engendré par \(X\) et la variable aléatoire constante égale à 1, soit \(G=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits (X,1_\Omega)\). Soit \(Y \in {\cal F}\).
Déterminer les réels \(a_0\) et \(b_0\) pour lesquels \(Y -a_0 X -b_0\) est orthogonal à tout élément de \(G\).
En déduire l’expression de la projection orthogonale de \(Y\) sur \(G\) qu’on notera \(p_G(Y)\).
Comparer \(E(p_G(Y))\) et \(E(Y)\).
On suppose que \(X = 1_A\), avec \(A\) partie de \(\Omega\) non vide et distincte de \(\Omega\). Montrer que pour tout \(B \subset \Omega\) : \[p_G(1_B) = P(B/A) 1_A+ P(B/\overline{A}) 1_{\overline{A}},\] où \(P(U/V)\) désigne la probabilité conditionnelle de l’événement \(U\), sachant que l’événement \(V\) est réalisé.
[examen/ex0376] mines PC 2023 On munit l’ensemble \(\Omega\), fini à \(n\geqslant 2\) éléments, de la loi de probabilité uniforme. On note \(F\) l’espace des variables aléatoires réelles sur \(\Omega\).
[examen/ex0376]
Montrer que l’application \((X,Y)\in F^2\mapsto\mathbf{E}(XY)\) définit un produit scalaire sur \(F\).
Déterminer la projection orthogonale de \(X\in F\) sur la droite dirigée par la variable 1.
Vous pouvez pré-filtrer l'affichage des exercices, en imposant par exemple des exercices d'une filière en particulier